Koşullu Dağılım: Bilmeniz Gereken 7 İlginç Gerçek


koşullu dağıtım

   İki rastgele değişken birbirini tatmin eden dağılımı takip ettiğinde koşullu dağılım durumunu tartışmak çok ilginçtir, önce koşullu dağılımı hem kesikli hem de sürekli rastgele değişkenler durumunda kısaca görüyoruz, ardından bazı ön koşulları inceledikten sonra odaklanıyoruz. koşullu beklentiler

Ayrık koşullu dağıtım

     Ortak dağılımdaki ortak olasılık kütle fonksiyonunun yardımıyla, olasılık kütle fonksiyonu ile dağılım olarak verilen X için koşullu olasılığı kullanarak ayrık rastgele değişkenler X ve Y için koşullu dağılımı tanımlarız.

[lateks]p_{X|Y}(x|y)=P\sol { X=x|Y=y \sağ }[/lateks]

[lateks]=\frac{P\sol { X=x, Y=y \sağ }}{P\sol { Y=y \sağ }}[/lateks]

[lateks]=\frac{p(x,y)}{p_{Y}(y)}[/lateks]

payda olasılığının sıfırdan büyük olması koşuluyla, benzer şekilde bunu şu şekilde yazabiliriz:

[lateks]F_{X|Y}(x|y)=P \left { X\leq x|Y\leq y \sağ }[/lateks]

[lateks]=\sum_{a\leq x} p_{X|Y} (a|y)[/lateks]

ortak olasılıkta, X ve Y bağımsız rastgele değişkenlerse, bu şuna dönüşecektir:

[lateks]p_{X|Y} (x|y) = P \sol { X=x|Y=y \sağ }[/lateks]

[lateks]=\frac{P\sol { X=x, Y=y \sağ }}{P\sol { Y=y \sağ }}[/lateks]

[lateks]=P\sol { X=x \sağ }[/lateks]

yani ayrık rasgele değişkenler için ayrık koşullu dağılım veya koşullu dağılım X verilen Y için benzer şekilde yukarıdaki olasılık kütle fonksiyonuna sahip rastgele değişkendir X verilen X için tanımlayabiliriz.

Ayrık koşullu dağıtım örneği

  1. Bul rastgele değişkenin olasılık kütle fonksiyonu X verilen Y=1, X ve Y rasgele değişkenleri için birleşik olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki gibi bazı değerlere sahipse

p(0,0)=0.4 , p(0,1)=0.2, p(1,0)= 0.1, p(1,1)=0.3

Şimdi öncelikle elimizdeki Y=1 değeri için

[latex]p_{Y}(1)=\sum_{x}p(x,1)=p(0,1)+p(1,1)=0.5[/latex]

yani olasılık kütle fonksiyonunun tanımını kullanarak

[lateks]p_{X|Y}(x|y)=P\sol { X=x|Y=y \sağ }[/lateks]

[lateks]=\frac{P\sol { X=x,Y=y \sağ }}{P\sol { Y=y \sağ }}[/lateks]

[lateks]=\frac{p(x,y)}{p_{Y}(y)}[/lateks]

Elimizdeki

[latex]p_{X|Y}(0|1)=\frac{p(0,1)}{p_{Y}(1)}=\frac{2}{5}[/latex]

ve

[latex]p_{X|Y}(1|1)=\frac{p(1,1)}{p_{Y}(1)}=\frac{3}{5}[/latex]

  • X+Y=n verilen X'in koşullu dağılımını elde edin, burada X ve Y, λ parametreleriyle Poisson dağılımlarıdır1 ve λ2 ve X ve Y bağımsız rastgele değişkenlerdir

X ve Y rasgele değişkenleri bağımsız olduğundan, koşullu dağılımın olasılık kütle fonksiyonu şu şekilde olacaktır:

[lateks]P\sol { X=k|X + Y=n \sağ } =\frac{P\sol { X=k, X+Y =n \sağ }}{P\sol { X+Y=n \sağ }}[/lateks]

[lateks]=\frac{P\sol { X=k, X =n -k \sağ }}{P\sol { X+Y=n \sağ }}[/lateks]

[lateks]=\frac{P\sol { X=k \sağ } P\sol { Y=nk \sağ }}{P\sol { X+Y=n \sağ }}[/lateks]

Poisson rastgele değişkeninin toplamı yine poisson olduğundan

[lateks]P\sol { X=k|X +Y =n \sağ } =\frac{e^{-\lambda {1}}\lambda{1}^{k}}{k!}\frac{e^{-\lambda_{2}^{}}\lambda {2}^{nk}}{(nk)!}\left [ \frac{e^{-(\lambda {1}+\lambda {2})}(\lambda {1}+\lambda _{2})^{n}}{n!} \sağ ]^{-1}[/lateks]

[lateks]=\frac{n!}{(nk)!k!}\frac{\lambda {1}^{k}\lambda {2}^{nk}}{(\lambda {1}+\lambda {2})^{n}}[/lateks]

[lateks]=\binom{n}{k} \left ( \frac{\lambda {1}}{\lambda {1}+\lambda {2}} \sağ )^{k}\left ( \frac{\lambda {2}}{\lambda {1}+\lambda {2}} \sağ )^{nk}[/lateks]

dolayısıyla yukarıdaki olasılık kütle fonksiyonuna sahip koşullu dağılım, bu tür Poisson dağılımları için koşullu dağılım olacaktır. Yukarıdaki durum ikiden fazla rastgele değişken için genelleştirilebilir.

Sürekli koşullu dağıtım

   Önceden tanımlanmış y rasgele değişkeni X'in sürekli koşullu dağılımı, olasılık yoğunluk fonksiyonu ile sürekli dağılımdır.

[lateks]f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}[/lateks]

payda yoğunluğu sıfırdan büyüktür, bu sürekli yoğunluk fonksiyonu için

[lateks]f_{X|Y}(x|y)dx=\frac{f(x,y)dxdy}{f_{Y}(y)dy}[/lateks]

[lateks]\yaklaşık \frac{P\left { x\leq X\leq x+dx, y\leq Y \leq y+ dy \right }}{P\left { y\leq Y \leq y+dy \sağ }}[/lateks]

[lateks]=P\left { x\leq X \leq x+dx|y\leq Y\leq y+dy \sağ }[/lateks]

bu nedenle, böyle bir koşullu yoğunluk fonksiyonunun olasılığı

[lateks]P\sol { X\in A|Y =y \sağ } =\int_{A} f_{X|Y}(x|y)dx[/lateks]

Ayrıktakine benzer şekilde, eğer X ve Y süreklide bağımsızsa, o zaman da

[lateks]f_{X|Y}(x|y)dx=\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}=\frac{f_{X}(x)f_{Y} (y)}{f_{Y}(y)} =f_{X}(x)[/lateks]

ve dolayısıyla

[lateks]\frac{P\sol { x< X< x+ dx|N =n \sağ }}{dx} = \frac{P\sol { N=n|x < X < x+ dx \sağ }}{ P\sol { N=n \sağ }} \frac{P\sol { x< X < x+ dx \sağ }}{dx}[/lateks]

[lateks]\lim_{dx \to 0}\frac{P\left { x< X < x +dx|N =n \sağ }}{dx} =\frac{P\left { N=n|X = x \sağ }}{P\sol { N=n \sağ }} f(x)[/lateks]

yani şöyle yazabiliriz

[lateks]f_{X|N}(x|n)=\frac{P\left { N=n|X=x \sağ }}{P\sol { N=n \sağ }}f(x)[ /lateks]

Sürekli koşullu dağıtım örneği

  1. Açık aralık (0,1) ile ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilirse, Y verilen rasgele değişken X'in koşullu yoğunluk fonksiyonunu hesaplayın.

[lateks]f(x,y)=\begin{kasalar} \frac{12}{5} x(2-xy) \ \ 0< x< 1, \ \ 0< y< 1 \\ \ \ 0 \ \ \ \ aksi takdirde \end{kasalar}[/lateks]

X rastgele değişkeni için (0,1) içinde Y verilirse, yukarıdaki yoğunluk fonksiyonunu kullanarak

[lateks]f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}[/lateks]

[lateks]=\frac{f(x,y)}{\int_{-\infty}^{\infty} f(x,y)dx}[/lateks]

[lateks]=\frac{x(2-xy)}{\int_{0}^{1} x(2-xy) dx}[/lateks]

[lateks]=\frac{x(2-xy)}{\frac{2}{3}-\frac{y}{2}}[/lateks]

[lateks]=\frac{6x(2-xy)}{4-3y}[/lateks]

  • Koşullu olasılığı hesaplayın

[lateks]P\sol { X> 1|Y=y \sağ }[/lateks]

ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu ile verilirse

f(x,y)=\begin{cases} \frac{e^{-\frac{x}{y}}e^{-y}}{y} \ \ 0< x< \infty , \ \ 0 < y< \infty \\ \ \ 0 \ \ \ \ aksi takdirde \end{durumlar}

Koşullu olasılığı bulmak için önce koşullu yoğunluk fonksiyonuna ihtiyacımız var, bu nedenle tanım gereği

[lateks]f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}[/lateks]

[lateks]=\frac{e^{-x/y}e^{-y}/y}{e^{-y}\int_{0}^{\infty}(1/y)e^{- x/y}dx}[/lateks]

[lateks]=\frac{1}{y}e^{-x/y}[/lateks]

şimdi olasılıkta bu yoğunluk fonksiyonunu kullanarak şartlı olasılık is

[lateks]P\sol { X> 1|Y=y \sağ } =\int_{1}^{\infty}\frac{1}{y} e^{-x/y}dx[/lateks]

[lateks]= e^{-x/y} \lvert_{1}^{\infty}[/lateks]

[lateks]= e^{-1/y}[/lateks]

İki değişkenli normal dağılımın koşullu dağılımı

  Normal rasgele değişkenler X ve Y'nin iki değişkenli normal dağılımının ilgili ortalamalar ve varyanslarla birlikte parametreler olarak ortak olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip olduğunu biliyoruz.

bu yüzden X için böyle bir iki değişkenli normal dağılım için koşullu dağılımı bulmak için verilen Y, sürekli rastgele değişkenin koşullu yoğunluk fonksiyonunu ve sahip olduğumuz yukarıdaki ortak yoğunluk fonksiyonunu izleyerek tanımlanır.

koşullu dağıtım
İki değişkenli normal dağılımın koşullu dağılımı

Bunu gözlemleyerek, bunun ortalama ile normal olarak dağıldığını söyleyebiliriz.

[lateks]\sol ( \mu {x} + \rho \frac{\sigma {x}}{\sigma {y}} (y-\mu {y}) \sağ )[/lateks]

ve varyans

[lateks]\sigma _{x}^{2}(1-\rho ^{2})[/lateks]

benzer şekilde, önceden tanımlanmış X verilen Y için koşullu yoğunluk fonksiyonu sadece X parametrelerinin konumlarını Y ile değiştirecektir,

X için marjinal yoğunluk fonksiyonunu, sabitin değerini kullanarak yukarıdaki koşullu yoğunluk fonksiyonundan elde edebiliriz.

koşullu dağıtım
İki değişkenli normal dağılımın koşullu dağılımı

integralde yerine koyalım

[lateks]w=\frac{y-\mu {y}}{\sigma {y}}[/lateks]

yoğunluk fonksiyonu şimdi olacak

toplam değeri olduğundan

olasılık tanımına göre yoğunluk fonksiyonu şimdi olacak

bu, parametre olarak olağan ortalama ve varyans ile rastgele değişken X'in yoğunluk fonksiyonundan başka bir şey değildir.

Rastgele değişkenlerin fonksiyonunun Ortak Olasılık dağılımı

  Şimdiye kadar iki rastgele değişkenin ortak olasılık dağılımını biliyoruz, şimdi böyle rastgele değişkenlerin fonksiyonlarına sahipsek, o zaman bu fonksiyonların ortak olasılık dağılımı ne olurdu, yoğunluk ve dağılım fonksiyonunu nasıl hesaplayacağız çünkü gerçek yaşam durumlarımız var. rastgele değişkenlerin fonksiyonlarına sahip olmak,

Eğer Y1 ve Y2 X rasgele değişkenlerinin fonksiyonlarıdır1 ve X2 sırasıyla müşterek sürekli olan bu iki fonksiyonun müşterek sürekli yoğunluk fonksiyonu olacaktır.

[latex]f_{Y_{1}Y_{2}}(y_{1}y_{2})=fX_{1}X_{2}(x_{1},x_{2})|J(x_{1},x_{2})|^{-1}[/latex]

nerede Jacobi

[lateks]J(x_{1},x_{2}) = \begin{vmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} ve \frac{\partial g_1}{\partial x_2} \ \ \\ \frac{\partial g_2}{\partial x_1} ve \frac{\partial g_2}{\partial x_2} \end{vmatrix} \equiv \frac{\partial g_1}{\partial x_1}\frac{\partial g_2 }{\partial x_2} – \frac{\partial g_1}{\partial x_2}\frac{\partial g_2}{\partial x_1} \neq 0[/lateks]

ve Y1 =g1 (X1, X2) ve Y2 =g2 (X1, X2) bazı fonksiyonlar için g1 ve G2 . burada g1 ve G2 Jakobiyen şartlarını sürekli ve sürekli kısmi türevlere sahiptir.

Şimdi rastgele değişkenlerin bu tür fonksiyonlarının olasılığı

Rastgele değişkenlerin fonksiyonunun Ortak Olasılık dağılımına ilişkin örnekler

  1. Y rastgele değişkenlerinin ortak yoğunluk fonksiyonunu bulun1 =X1 +X2 ve Y2=X1 -X2 , nerede X1 ve X2 müşterek olasılık yoğunluk fonksiyonu ile müşterek süreklidir. ayrıca dağıtımın farklı doğası için tartışın.

Burada ilk önce Jacobian'ı kontrol edeceğiz

[lateks]J(x_{1},x_{2}) = \begin{vmatrix} \frac{\partial g_1}{\partial x_1} ve \frac{\partial g_1}{\partial x_2} \ \\ \ frac{\partial g_2}{\partial x_1} ve \frac{\partial g_2}{\partial x_2} \end{vmatrix}[/lateks]

g'den beri1(x1, x2)= x1 +x2  ve G2(x1, x2)= x1 - x2 so

[lateks]J(x_{1},x_{2}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 \ \\ 1 & -1 \end{vmatrix} =-2[/lateks]

Y'yi basitleştirmek1 =X1 +X2 ve Y2=X1 -X2 , X değeri için1 =1/2( Y1 +Y2 ) ve X2 = Y1 -Y2 ,

[lateks]f_{Y_{1}},{Y{2}}(y_{1},y_{2})=\frac{1}{2}f_{X_{1},X_{2}}\left ( \frac{y_{1}+y_{2}}{2},\frac{y_{1} – y_{2}}{2} \right )[/latex]

bu rastgele değişkenler bağımsız tek tip rastgele değişkenlerse

[lateks]f_{Y_{1},Y_{2}} (y_{1},y_{2}) =\begin{cases} \frac{1}{2} \ \ 0 \leq y_{1} + y_{2} \leq 2 \ \ , \ \ 0\leq y_{1} – y_{2} \leq 2 \\ 0 \ \ aksi halde \end{kasalar}[/latex]

veya bu rastgele değişkenler, olağan parametrelere sahip bağımsız üstel rastgele değişkenler ise

veya bu rastgele değişkenler bağımsız normal rastgele değişkenlerse

[latex]f_{Y_{1},Y_{2}} (y_{1},y_{2}) =\frac{1}{4\pi }e^{-[(y_{1}+y_{2})^{2}/8 + (y_{1} -y_{2})^{2}/8]}[/latex]

[latex]=\frac{1}{4\pi } e^{-\left ( y_{1}^{2} + y_{2}^{2}\sağ )/4}[/latex]

[latex]=\frac{1}{\sqrt{4\pi }}e^{-y_{1}^{2}/4} \frac{1}{\sqrt{4\pi }}e^{-y_{2}^{2}/4}[/latex]

  • X ve Y, verilen bağımsız standart normal değişkenlerse
koşullu dağıtım

ilgili kutupsal koordinatlar için ortak dağılımı hesaplayın.

Olağan X ve Y'yi r ve θ'ye şu şekilde dönüştüreceğiz:

[lateks]g_{1}(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \ \ ve \ \ \\theta =g_{2} (x,y)= tan^{- 1}\frac{y}{x}[/lateks]

yani bu fonksiyonun kısmi türevleri

[lateks]\frac{\partial g_{1}}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}[/lateks]

[lateks]\frac{\partial g_{2}}{\partial x}=\frac{1}{1+ (y/x)^{2}}\left ( \frac{-y}{x^{ 2}} \sağ )^{2} =\frac{-y}{x^{2}+y^{2}}[/lateks]

[lateks]\frac{\partial g_{1}}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}[/latex]

[lateks]\frac{\partial g_{2}}{\partial y}=\frac{1}{x\sol [ 1+(y/x)^{2} \sağ ]}=\frac{x} {x^{2}+y^{2}}[/lateks]

yani bu işlevleri kullanan Jacobian

[latex]J(x,y)=\frac{x^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} + \frac{y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}} =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{r}[/latex]

X ve Y rasgele değişkenlerinin her ikisi de sıfırdan büyükse, koşullu eklem yoğunluğu fonksiyonu

[lateks]f(x,y|X > 0, Y > 0)=\frac{f(x,y)}{P(X > 0, Y> 0)}=\frac{2}{\pi } e^{-(x^{2}+y^{2})/2} \ \ x> 0, \ \ y> 0[/lateks]

şimdi kartezyen koordinatın kutupsal koordinata dönüştürülmesi

[lateks]r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} \ \ ve \ \ \theta =tan^{-1}\left ( \frac{y}{x} \sağ )[/ lateks]

yani olasılık yoğunluğu işlev pozitif değerler için

[lateks]f(r,\theta|X > 0, Y> 0 )=\frac{2}{\pi }re^{-r^{2}/2} , \ \ 0< \theta < \frac {\pi }{2} , \ \ 0< r< \infty[/lateks]

farklı için kombinasyonları X ve Y'nin yoğunluk fonksiyonları benzer şekillerde

[lateks]f(r,\theta|X 0 )=\frac{2}{\pi }re^{-r^{2}/2} , \ \ \pi /2 < \theta < \pi , \ \ 0< r< \infty[/lateks]

[lateks]f(r,\theta|X < 0, Y< 0 )=\frac{2}{\pi }re^{-r^{2}/2} , \ \ \pi < \theta < 3 \pi/2 , \ \ 0< r< \infty[/lateks]

[lateks]f(r,\theta|X > 0, Y< 0 )=\frac{2}{\pi }re^{-r^{2}/2} , \ \ 3\pi/2 < \ teta < 2\pi , \ \ 0< r< \infty[/lateks]

şimdi yukarıdaki yoğunlukların ortalamasından yoğunluk fonksiyonunu şu şekilde ifade edebiliriz:

[lateks]f(r,\theta)=\frac{1}{2\pi }re^{-r^{2}/2} , \ \ 0 < \theta < 2\pi , \ \ 0< r < \inft[/lateks]

ve (0, 2π) aralığında kutupsal koordinatların bu ortak yoğunluğundan marjinal yoğunluk fonksiyonu

[lateks]f(r)=re^{-r^{2}/2} , \ \ 0< r< \infty[/lateks]

  • Rastgele değişkenlerin fonksiyonu için ortak yoğunluk fonksiyonunu bulun

U=X+Y ve V=X/(X+Y)

X ve Y nerede gama dağılımı sırasıyla (α + λ) ve (β +λ) parametreleriyle.

tanımını kullanarak gama dağılımı ve ortak dağılım fonksiyonu X ve Y rasgele değişkeni için yoğunluk fonksiyonu olacaktır

[lateks]f_{X,Y} (x,y)=\frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha -1}}{\Gama (\alpha )} \ frac{\lambda e^{-\lambda y}(\lambda y)^{\beta -1}}{\Gamma (\beta )}[/latex]

[lateks]=\frac{\lambda ^{\alpha +\beta }}{\Gamma (\alpha ) \Gamma (\beta )} e^{-\lambda (x+y)} x^{\alpha - 1}y^{\beta -1}[/lateks]

verilen fonksiyonları şu şekilde düşünün

g1 (x,y) =x+y , g2 (x,y) =x/(x+y),

yani bu fonksiyonun farklılaşması

[lateks]\frac{\partial g_{1}}{\partial x}=\frac{\partial g_{1}}{\partial y}=1[/lateks]

[lateks]\frac{\partial g_{2}}{\partial x}=\frac{y}{(x+y)^{2}}[/lateks]

[lateks]\frac{\partial g_{2}}{\partial y}=-\frac{x}{(x+y)^{2}}[/latex]

şimdi Jacobian

[lateks]J(x,y) = \begin{vmatrix} 1 ve 2 \ \\ \frac{y}{(x+y)^{2}} & \frac{-x}{(x+y) ^{2}} \end{vmatrix} = -\frac{1}{x+y}[/lateks]

x=uv ve y=u(1-v) değişkenleri verilen denklemleri basitleştirdikten sonra olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:

[lateks]f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y} \left [ uv,u(1-v) \sağ ]u[/lateks]

[lateks]=\frac{\lambda e^{-\lambda u}(\lambda u)^{\alpha +\beta -1}}{\Gamma (\alpha +\beta )} \frac{v^{ \alpha -1}(1-v)^{\beta -1}\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}[/lateks]

ilişkiyi kullanabiliriz

[lateks]B(\alpha ,\beta )=\int_{0}^{1}v^{\alpha -1}(1-v)^{\beta -1}dv[/latex]

[lateks]=\frac{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}[/lateks]

  • için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu hesaplayın

Y1 =X1 +X2+ X3 Y2 =X1- X2 Y3 =X1 - X3

burada X1, X2, X3 rasgele değişkenleri standarttır normal rastgele değişkenler.

Şimdi Jacobian'ı kısmi türevlerini kullanarak hesaplayalım.

Y1 =X1 +X2+ X3 Y2 =X1- X2 Y3 =X1 - X3

as

[lateks]J = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \ \\ 1 & -1 & 0 \\ \ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} =3[/lateks]

X değişkenleri için sadeleştirme1 , X2 ve X3

X1 = (Y1 + Y2 + Y3)/3 , X2 = (Y1 – 2Y2 + Y3)/3 , X3 = (Y1 + Y2 -2 yıl3) / 3

ortak yoğunluk fonksiyonunu şu şekilde genelleyebiliriz:

[lateks]f_{Y_{1} \cdot \cdot \cdot Y_{n}}(y_{1} \cdot \cdot \cdot y_{n})=f_{X_{1} \cdot \cdot \cdot X_ {n}}(x_{1} \cdot \cdot \cdot x_{n})|J(x_{1} \cdot \cdot \cdot x_{n})|^{-1}[/lateks]

Böylece sahibiz

[latex]f_{Y_{1}, Y_{2},Y_{3}}(y_{1}, y_{2},y_{3})=\frac{1}{3}f_{X_{1},X_{2},X_{3}}\left ( \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}, \frac{y_{1}-2y_{2}+y_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2} -2y_{3}}{3} \right )[/latex]

normal değişken için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

[latex]f_{X_{1}, X_{2},X_{3}}(x_{1}, x_{2},x_{3})=\frac{1}{(2\pi )^{3/2}}e^{-\sum_{i=1}^{3}x_{i}^{2}/2}[/latex]

bundan dolayı

[latex]f_{Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}}(y_{1}, y_{2}, y_{3})=\frac{1}{3(2\pi )^{3/2}}e^{-Q(y_{1},y_{2},y_{3})/2}[/latex]

indeks nerede

[lateks]Q(y_{1},y_{2},y_{3})=\left ( \frac{(y_{1}+y_{2}+y_{3})}{3} \sağ ) ^{2} + \left ( \frac{(y_{1}-2y_{2}+y_{3})}{3} \sağ )^{2} + \left ( \frac{(y_{1}) +y_{2}-2y_{3})}{3} \sağ )^{2}[/lateks]

[latex]=\frac{y_{1}^{2}}{3} + \frac{2}{3} y_{2}^{2} +\frac{2}{3} y_{3}^{2} -\frac{2}{3}y_{2}y_{3}[/latex]

Y'nin eklem yoğunluk fonksiyonunu hesaplayın1 ……Yn ve Y için marjinal yoğunluk fonksiyonun nerede

[lateks]Y_{i}= X_{1}+ \cdot \cdot \cdot.+X_{i} \ \ i=1, \cdot \cdot \cdot..,n[/lateks]

ve Xi λ parametresine sahip bağımsız, aynı şekilde dağıtılmış üstel rastgele değişkenlerdir.

formun rastgele değişkenleri için

Y1 =X1 Y2 =X1 + X2 , ……, Yn =X1 + ……+ Xn

Jacobian formda olacak

ve dolayısıyla değeri birdir ve üstel rastgele değişken için ortak yoğunluk fonksiyonu

[lateks]f_{X_{1} \cdot \cdot \cdot X_{n}}(x_{1}, \cdot \cdot \cdot,x_{n})=\prod_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_{i}} \ \ 0< x_{i}< \infty , \ \ i=1, \cdot \cdot \cdot ,n[/lateks]

ve X değişkeninin değerlerii olacak

[lateks]X_{1}=Y_{1} , X_{2}=Y_{2} -Y_{1} ,\cdot \cdot \cdot , X_{i}=Y_{i} -Y_{i-1 }, \cdot \cdot \cdot, X_{n}=Y_{n} -Y_{n-1}[/lateks]

yani ortak yoğunluk fonksiyonu

[lateks]f_{Y_{1}, \cdot \cdot \cdot \cdot Y_{n}}(y_{1},y_{2}, \cdot \cdot \cdot \cdot y_{n})=f_{ X_{1},\cdot \cdot \cdot \cdot ,X_{n}}(y_{1},y_{2} -y_{1},\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot ,y_{i} -y_{i-1},\cdot \cdot \cdot ,y_{n}-y_{n-1} )[/lateks]

[lateks]=\lambda ^{n} exp\left { -\lambda \sol [ y_{1} + \sum_{i=2}^{n}(y_{i}-y_{i-1}) \ sağ ] \sağ }[/lateks]

[lateks]=\lambda ^{n} e^{-\lambda y_{n}} \ \ 0< y_{1}, 0< y_{i}-y_{i-1} , i=2, \cdot \cdot \cdot ,n[/lateks]

[latex]=\lambda ^{n} e^{-\lambda y_{n}} \ \ 0< y_{1} < y_{2} < \cdot \cdot \cdot < y_{n}[/lateks]

Şimdi Y'nin marjinal yoğunluk fonksiyonunu bulmak içinn olarak tek tek entegre edeceğiz

[lateks]f_{Y_{2}, \cdot \cdot \cdot \cdot Y_{n}} (y_{2}, \cdot \cdot \cdot \cdot y_{n})= \int_{0}^{ y_{2}}\lambda ^{n} e^{-\lambda y_{n}}dy_{1}[/lateks]

[lateks]=\lambda ^{n} y_{2} e^{-\lambda y_{n}} \ \ 0< y_{2} < y_{3} < \cdot \cdot \cdot < y_{n} [/lateks]

ve

[lateks]f_{Y_{3}, \cdot \cdot \cdot \cdot Y_{n}} (y_{3}, \cdot \cdot \cdot \cdot y_{n})= \int_{0}^{ y_{3}}\lambda ^{n} y_{2} e^{-\lambda y_{n}}dy_{2}[/lateks]

[lateks]=\frac{\lambda ^{n}}{2} y_{3}^{2} e^{-\lambda y_{n}} \ \ 0< y_{3} < y_{4} < \cdot \cdot \cdot < y_{n}[/lateks]

aynı şekilde

[lateks]f_{Y_{4}, \cdot \cdot \cdot \cdot Y_{n}} (y_{4}, \cdot \cdot \cdot \cdot y_{n}) =\frac{\lambda ^{ n}}{3!} y_{4}^{3} e^{-\lambda y_{n}} \ \ 0 < y_{4} < \cdot \cdot \cdot < y_{n}[/lateks]

bu işleme devam edersek

[lateks]f_{Y_{n}}(y_{n})=\lambda ^{n}\frac{y_{n}^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\ lambda y_{n}} \ \ 0< y_{n}[/lateks]

marjinal yoğunluk fonksiyonudur.

Sonuç:

The koşullu dağılım Bağımsız rastgele değişkenin önemli rol oynadığı bu rastgele değişkenlerin bazı türleri ele alınarak farklı örneklerle ayrık ve sürekli rastgele değişken için. Ek olarak ortak ortak sürekli rasgele değişkenlerin fonksiyonu için dağılım ayrıca uygun örneklerle açıklanmıştır, eğer daha fazla okumanız gerekiyorsa aşağıdaki linkleri inceleyin.

Matematik ile ilgili daha fazla yazı için lütfen Matematik Sayfası

Vikipedihttps://en.wikipedia.org/wiki/joint_probability_distribution/” target=”_blank” rel=”noreferrer noopener” class=”rank-math-link”>Wikipedia.org

Sheldon Ross tarafından olasılıkta ilk ders

Schaum'un Olasılık ve İstatistik Anahatları

ROHATGI ve SALEH tarafından olasılık ve istatistiklere giriş

doktor MUHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ben DR'yim. Muhammed Mazhar Ul Haque, Matematik Bölümünde Yardımcı Doçent. 12 yıllık öğretmenlik tecrübesine sahip olmak. Saf Matematikte, tam olarak Cebirde engin bilgiye sahip olmak. Problem tasarlama ve çözme konusunda muazzam bir yeteneğe sahip olmak. Adayları performanslarını artırmaları için motive edebilir. Hem yeni başlayanlar hem de uzmanlar için Matematiği Basit, İlginç ve Kendi Kendini Açıklayıcı hale getirmek için Lambdageeks'e katkıda bulunmayı seviyorum. LinkedIn üzerinden bağlanalım - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Son Yazılar