Koşullu Beklenti: Bilmeniz Gereken 7 Gerçek


İçerik Tablosu

Birbirine bağımlı rastgele değişken için, daha önce tartıştığımız koşullu olasılıkların hesaplanmasını gerektirdiğinden, şimdi bu tür rastgele değişkenler için bazı parametreleri veya farklı rastgele değişken türleri için koşullu beklenti ve koşullu varyans gibi deneyleri tartışacağız.

Koşullu Beklenti

   Y verilen ayrık rastgele değişken X'in koşullu olasılık kütle fonksiyonunun tanımı şöyledir:

PX|Y(x|y)=P/SolX=x|Y=y\sağ=p(x,y)\pY(y)

burada pY(y)>0 , yani koşullu kesikli rastgele değişken için beklenti pY (y)>0 olduğunda X verilen Y

E[X|Y=y]=ΣxxP{X=x|Y=y}

ΣxxpX|Y(x|y)

yukarıdaki beklentide olasılık koşulludur olasılık.

  Benzer şekilde, eğer X ve Y sürekli ise, o zaman Y verilen rasgele değişken X'in koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonu şudur:

fX|Y(x|y)=f(x,y)/fY(E)

burada f(x,y) birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonudur ve tüm yf içinY(y)>0 , bu nedenle y ile verilen rasgele değişken X için koşullu beklenti şöyle olacaktır:

tüm yf içinY(y)>0.

   Bildiğimiz gibi tüm olasılık özellikleri koşullu için geçerlidir olasılık aynı koşullu beklenti için de geçerlidir, matematiksel beklentinin tüm özellikleri koşullu beklenti ile karşılanır, örneğin rastgele değişkenin koşullu işlevi beklentisi

[lateks]\begin{dizi}{c}
E[g(X) \mid Y=y]=\left\{\begin{dizi}{l}
\sum_{x} g(x) p_{X \mid Y}(x \mid y) \quad \text { ayrık durumda } \\
\int_{-\infty}^{\infty} g(x) f_{X \mid} \gamma(x \orta y) dx \text { sürekli durumda }
\end{dizi}
\end{dizi}[/lateks]

ve koşullu beklentideki rastgele değişkenlerin toplamı

Binom rastgele değişkenlerin toplamı için Koşullu Beklenti

    koşullu bulmak için binom rastgele değişkenlerin toplamının beklentisi X ve Y bağımsız olan n ve p parametreleriyle, X+Y'nin 2n ve p parametreleriyle de binom rastgele değişken olacağını biliyoruz, dolayısıyla X+Y=m verilen X rastgele değişkeni için koşullu beklenti hesaplanarak elde edilecektir. olasılık

bunu bildiğimizden beri

E[X]=E[X1]+…..+E[Xm]=dk/N

dolayısıyla X+Y=m verilen X'in koşullu beklentisi

E[X|X+Y=m]=m/2

Örnek:

Koşullu beklentiyi bulun

E[X|Y=y]

eğer eklem sürekli rastgele değişkenlerin olasılık yoğunluk fonksiyonu X ve Y olarak verilir

[lateks]f(x, y)=\frac{e^{-x / y} e^{-y}}{y} & 0

çözüm:

Koşullu beklentiyi hesaplamak için koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonuna ihtiyacımız var, yani

sürekli rasgele değişken için olduğundan şartlı beklenti

dolayısıyla verilen yoğunluk fonksiyonu için koşullu beklenti

Koşullu beklenti||Koşullu beklentiye göre beklenti

                hesaplayabiliriz matematiksel beklenti Y olarak verilen X'in koşullu beklentisinin yardımıyla

E[X]=E[E[X|Y]]

ayrık rastgele değişkenler için bu

E[X]=ΣyE[X|Y=y]P{Y=y}

olarak elde edilebilir

ve sürekli rastgele için benzer şekilde gösterebiliriz

Örnek:

                Bir kişi, ağır bir yük nedeniyle giriş bloke olduğu için yeraltında mahsur kaldı, neyse ki içinden çıkabileceği üç boru hattı var, ilk boru onu 3 saat sonra, ikinci boru 5 saat sonra ve üçüncü boru hattı sonra güvenli bir şekilde dışarı çıkarın. 7 saat, Bu borulardan herhangi birinin kendisi tarafından eşit derecede seçilme olasılığı varsa, o zaman güvenli bir şekilde dışarı çıkması beklenen süre ne olurdu.

Çözüm:

X, kişinin güvenli bir şekilde dışarı çıkmasına kadar geçen süreyi saat cinsinden gösteren rastgele değişken olsun ve Y başlangıçta seçtiği boruyu göstersin.

E[X]=E[X |Y=1] P{Y=1}+E[X | Y=2] P{Y=2}+E[X |Y=3] P{Y=3}
=1/3(E[X |Y=1]+E[X |Y=2]+E[X| Y=3])

beri

[lateks]$E[X \mid Y=1]=3$\\
$E[X \mid Y=2]=5+E[X]$\\
$E[X \mid Y=3]=7+E[X]$
[/lateks]

Kişi ikinci pipoyu seçerse bununla 5 saat geçirir ama beklenen sürede dışarı çıkar.

E[X|Y=2]=5+E[X]

yani beklenti olacak

E[X]=1/3(3+5+E[X]+7+E[X]) E[X]=15

Koşullu beklenti kullanılarak rastgele sayıda rastgele değişkenin toplamının beklentisi

                Rastgele değişkenin rasgele sayısı N olsun ve rasgele değişkenlerin toplamı     o zaman beklenti  

beri

as

Böylece

İki değişkenli dağılımın korelasyonu

İki değişkenli rastgele değişken X ve Y'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu ise

[lateks]\begin{array}{c}f(x, y)=\frac{1}{2 \pi \sigma_{x} \sigma_{y} \sqrt{1-\rho^{2}}} \exp \left\{-\frac{1}{2\left(1-\rho^{2}\right)}\sağ. & {\sol[\left(\frac{x-\mu_{x}}{\sigma_{x}}\sağ)^{2}+\left(\frac{y-\mu_{y}}{\ sigma_{y}}\sağ)^{2}\sağ.} & \sol. \left.-2 \rho \frac{\left(x-\mu_{x}\sağ)\left(y-\mu_{y}\sağ)}{\sigma_{x} \sigma_{y}}\ sağ]\sağ\}\end{dizi}[/lateks]

nerede

[lateks]\mu_{x}=E[X], \sigma_{x}^{2}=\operatöradı{Var}(X)$ ve $\mu_{y}=E[Y], \sigma_{ y}^{2}=\operatöradı{Var}(Y)$[/lateks]

daha sonra yoğunluk fonksiyonu ile iki değişkenli dağılım için rasgele değişken X ve Y arasındaki korelasyon

korelasyon olarak tanımlandığı için

[lateks]$\operatöradı{Düzelt}(X, Y)=\frac{\operatöradı{Cov}(X, Y)}{\sigma_{x} \sigma_{y}}$\\
$=\frac{E[XY]-\mu_{x} \mu_{y}}{\sigma_{x} \sigma_{y}}$[/lateks]

koşullu beklentiyi kullanan beklenti olduğundan

[lateks]E[XY]=E[E[XY \orta Y]] [/lateks]

normal dağılım için koşullu dağılım X, verilen Y'nin ortalamasına sahiptir

[lateks]mu_{x}+\rho \frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}}\left(y-\mu_{y}\sağ)[/lateks]

şimdi Y verilen XY'nin beklentisi

bu verir

[lateks]başla{hizalanmış} E[XY] &=E\left[Y \mu_{x}+\rho \frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}}\left(Y^{2} -\mu_{y} Y\sağ)\sağ] \\ &=\mu_{x} E[Y]+\rho \frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}} E\sol[Y ^{2}-\mu_{y} Y\sağ] \\ &=\mu_{x} \mu_{y}+\rho \frac{\sigma_{x}}{\sigma_{y}}\left( E\sol[Y^{2}\sağ]-\mu_{y}^{2}\sağ) \\ &=\mu_{x} \mu_{y}+\rho \frac{\sigma_{x} }{\sigma_{y}} \operatöradı{Var}(Y) \\ &=\mu_{x} \mu_{y}+\rho \sigma_{x} \sigma_{y} \end{hizalı}[/ lateks]

bundan dolayı

[lateks]\operatöradı{Düzelt}(X, Y)=\frac{\rho \sigma_{x} \sigma_{y}}{\sigma_{x} \sigma_{y}}=\rho[/lateks]

Geometrik dağılımın varyansı

    Geometrik dağılımda, p olasılığı ile başarı ile sonuçlanan ardışık bağımsız denemeler yapalım, N, bu ardışıklıktaki ilk başarı zamanını temsil ediyorsa, tanım gereği N'nin varyansı olacaktır.

[lateks]\operatöradı{Var}(N)=E\sol[N^{2}\sağ]-(E[N])^{2}[/latex]

Rastgele değişken Y=1, ilk deneme başarılıysa Y=0 ve ilk deneme başarısızlıkla sonuçlanıyorsa Y=XNUMX olsun, şimdi burada matematiksel beklentiyi bulmak için koşullu beklentiyi şu şekilde uyguluyoruz:

[lateks]E\sol[N^{2}\sağ]=E\sol[E\left[N^{2} \mid Y\sağ]\sağ][/lateks]

beri

[lateks]E\sol[N^{2} \mid Y=1\sağ]=1\\
E\left[N^{2} \mid Y=0\right]=E\left[(1+N)^{2}\right][/lateks]

başarı ilk denemede ise N=1 ve N2=1 ilk denemede başarısızlık meydana gelirse, o zaman ilk başarıyı elde etmek için toplam deneme sayısı 1 ile aynı dağılıma sahip olacaktır, yani başarısızlıkla sonuçlanan ilk deneme artı gerekli sayıda ek deneme, yani

[latex]E\left[N^{2} \mid Y=0\right]=E\left[(1+N)^{2}\right][/lateks]

Böylece beklenti olacak

[lateks]E\sol[N^{2}\sağ]=E\sol[N^{2} \mid Y=1\sağ] P\{Y=1\}+E\left[N^{2 } \mid Y=0\sağ] P\{Y=0\}\\
=p+(1-p) E\sol[(1+N)^{2}\sağ]\\
=1+(1-p) E\sol[2 N+N^{2}\sağ][/lateks]

geometrik dağılım beklentisi olduğundan so

[lateks]E[N]=1 / p [/lateks]

bundan dolayı

[latex]E\left[N^{2}\right]=1+\frac{2(1-p)}{p}+(1-p) E\left[N^{2}[/latex]

ve

[lateks]E\sol[N^{2}\sağ]=\frac{2-p}{p^{2}}[/lateks]

yani geometrik dağılımın varyansı

[lateks]\begin{aligned}\operatöradı{Var}(N) & =E\left[N^{2}\sağ]-(E[N])^{2} \\ = & \frac{2- p}{p^{2}}-\left(\frac{1}{p}\sağ)^{2} \\ = & \frac{1-p}{p^{2}}\end{hizalı }[/lateks]

Tek tip rasgele değişkenler dizisinin Minimum beklentisi

   Üniform rasgele değişkenlerin dizisi U1, O2 … .. aralığı (0, 1) ve N olarak tanımlanır

[lateks]N=\min \sol\{n: \sum_{i=1}^{n} U_{i}>1\sağ\}[/lateks]

sonra N'nin beklentisi için, herhangi bir x ∈ [0, 1] için N'nin değeri

[lateks]N(x)=\min \left\{n: \sum_{i=1}^{n} U_{i}>x\sağ\}[/lateks]

N'nin beklentisini şu şekilde ayarlayacağız

[lateks]m(x)=E[N(x)][/lateks]

beklentiyi bulmak için sürekli rastgele değişken üzerinde koşullu beklenti tanımını kullanırız

[lateks]E[X \mid Y=y]=\int_{-\infty}^{\infty} x f_{X \mid Y}(x \mid y) dx[/lateks]

şimdi dizinin ilk terimi için koşullandırma  Elimizdeki

[lateks]m(x)=\int_{0}^{1} E\left[N(x) \mid U_{1}=y\sağ] dy[/lateks]

işte anladık

[lateks]E\left[N(x) \mid U_{1}=y\sağ]=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { if } y>x \\ 1+m (xy) & \text { if } y \leq x\end{dizi}\sağ.[/lateks]

kalan tek biçimli rastgele değişken sayısı, başlangıçta ilk tek biçimli değerin y olduğu noktada aynıdır ve daha sonra toplamları x - y'yi geçene kadar tek biçimli rastgele değişkenler ekleyecektir.

yani bu beklenti değerini kullanarak integralin değeri

[lateks]m(x)=1+\int_{0}^{x} m(xy) dy\\
}u=xy[/lateks] sağlayarak =1+\int_{0}^{x} m(u) du \text{

bu denklemi farklılaştırırsak

[lateks]m^{\prime}(x)=m(x)[/lateks]

ve

[lateks]\frac{m^{\prime}(x)}{m(x)}=1[/lateks]

şimdi entegre etmek bu verir

[lateks]\log [m(x)]=x+c[/lateks]

bundan dolayı

[lateks]m(x)=ke^{x}[/lateks]

x=1 ise k=0 değeri, yani

[lateks]m(x)=e^{x}[/lateks]

ve m(1) =e, toplamları 0'i geçene kadar eklenmesi gereken (1, 1) aralığı boyunca beklenen düzgün rastgele değişken sayısı, e'ye eşittir

Koşullu Beklenti kullanarak Olasılık || koşullandırma kullanarak olasılıklar

   Olasılığı, koşullu beklenti ile bulduğumuz beklenti gibi koşullu beklentiyi kullanarak da bulabiliriz, bunu bir olayı ve bir rastgele değişkeni X olarak kabul etmek için.

[lateks]X=\left\{\begin{array}{ll}1 & \text { if } E \text { oluşur } \\ 0 & \text { if } E \text { yoksa }\end{ dizi}\sağ.[/lateks]

bu rastgele değişkenin tanımından ve beklentiden açıkça

[lateks]E[X]=P(E)\\
Herhangi bir rastgele değişken $Y$[/lateks] için E[X \mid Y=y]=P(E \mid Y=y)$

şimdi elimizdeki herhangi bir anlamda koşullu beklenti ile

[lateks]P(E)=\sum_{y} P(E \mid Y=y) P(Y=y) \quad$ eğer $Y$ ayrık ise\\
$=\int_{-\infty}^{\infty} P(E \mid Y=y) f_{Y}(y) dy \quad$ eğer $Y$ sürekli ise[/lateks]

Örnek:

hesaplamak olasılık kütle fonksiyonu U=p verilen X'in koşullu dağılımını n ve p parametreleriyle binom olarak kabul edin.

Çözüm:

U değeri için koşullandırma ile olasılık

[lateks]\begin{hizalanmış} P[X=i] ​​&=\int_{0}^{1} P\left[X=i \mid U=pl f_{U}(p) dp\sağ.\\ &=\int_{0}^{1} P[X=i \mid U=p\} dp \\ &=\frac{n !}{i !(ni) !} \int_{0}^{1 } p^{i}(1-p)^{ni} dp
\end{hizalanmış}[/lateks]

sonucu aldık

[lateks]\int_{0}^{1} p^{i}(1-p)^{ni} dp=\frac{i !(ni) !}{(n+1) !}[/latex]

yani alacağız

[latex]P[X=i]=\frac{1}{n+1} \quad i=0, \ldots, n[/latex]

Örnek:

X < Y'nin olasılığı nedir, X ve Y, olasılık yoğunluk fonksiyonları f ile sürekli rastgele değişkenlerseX ve fY respectivamente.

Çözüm:

Koşullu beklenti ve koşullu olasılığı kullanarak

[lateks]\begin{hizalanmış} P\{X

as

[lateks]FX(y)=\int_{-\infty}^{y} f_{X}(x) dx[/lateks]

Örnek:

Sürekli bağımsız rastgele değişkenler X ve Y'nin toplamının dağılımını hesaplayın.

Çözüm:

X+Y dağılımını bulmak için aşağıdaki gibi koşullandırmayı kullanarak toplamın olasılığını bulmalıyız.

[lateks]\begin{hizalanmış}P(X+Y

Sonuç:

Bağımsız rasgele değişken kullanılarak ele alınan bu rasgele değişkenlerin bazı türleri ve farklı koşullarda ortak dağılım dikkate alınarak ayrık ve sürekli rasgele değişken için farklı örneklerle koşullu beklenti, ayrıca koşullu beklenti kullanılarak beklenti ve olasılığın nasıl bulunacağı ile açıklanır. örnekler, daha fazla okumaya ihtiyacınız varsa aşağıdaki kitapları inceleyin veya Olasılık hakkında daha fazla Makale için lütfen matematik sayfaları.

https://en.wikipedia.org/wiki/probability_distribution

Sheldon Ross tarafından olasılıkta ilk ders

Schaum'un Olasılık ve İstatistik Anahatları

ROHATGI ve SALEH tarafından olasılık ve istatistiklere giriş

doktor MUHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ben DR'yim. Muhammed Mazhar Ul Haque. Doktoramı tamamladım. Matematik alanında ve Matematik alanında yardımcı doçent olarak çalışmaktadır. 12 yıllık öğretmenlik tecrübesine sahip olmak. Saf Matematikte, tam olarak Cebirde engin bilgiye sahip olmak. Problem tasarlama ve çözme konusunda muazzam bir yeteneğe sahip olmak. Adayları performanslarını artırmaları için motive edebilir. Hem yeni başlayanlar hem de uzmanlar için Matematiği Basit, İlginç ve Kendini Açıklayıcı hale getirmek için Lambdageeks'e katkıda bulunmayı seviyorum. LinkedIn üzerinden bağlanalım - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Son Yazılar