Kovaryans, Toplamların Varyansı: 7 Önemli Gerçek


KOVARYANS, TOPLAMLARIN VARYANSI VE rasgele DEĞİŞKENLERİN KORELASYONLARI

  Rastgele değişken beklentisi tanımını kullanarak farklı nitelikteki rastgele değişkenlerin istatistiksel parametrelerinin elde edilmesi ve anlaşılması kolaydır, aşağıda rastgele değişkenin matematiksel beklentisi yardımıyla bazı parametreleri bulacağız.

Meydana gelen olay sayısının anları

    Şimdiye kadar rasgele değişkenin farklı güçlerinin beklentisinin rasgele değişkenlerin momentleri olduğunu ve olay sayısı zaten meydana geldiyse olaylardan rasgele değişken beklentisinin nasıl bulunacağını biliyoruz, şimdi olay sayısı çifti beklentisiyle ilgileniyoruz. zaten meydana geldi, şimdi X meydana gelen olay sayısını temsil ediyorsa, o zaman A olayları için1, A2, ….,An gösterge değişkenini tanımlayın Ii as

X'in ayrık anlamda beklentisi

çünkü rastgele değişken X

Şimdi, eğer olay çiftinin sayısı zaten gerçekleştiyse, beklentiyi bulmak için kullanmamız gerekiyor. kombinasyon as

bu beklenti verir

bundan x kare beklentisini ve varyansın değerini şu şekilde elde ederiz:

Bu tartışmayı kullanarak, bu tür anları bulmak için farklı türdeki rastgele değişkenlere odaklanıyoruz.

Binom rastgele değişkenlerin anları

   Eğer p, n bağımsız denemeden elde edilen başarı olasılığı ise, A'yı gösterelimi deneme için ben başarı olarak

ve bu nedenle binom rastgele değişkenin varyansı olacak

Çünkü

k olay için genellersek

3'ten büyük k değeri için art arda elde edebileceğimiz bu beklenti 3 için bulalım

bu yinelemeyi kullanarak alabiliriz

Hipergeometrik rastgele değişkenlerin momentleri

  Bir örnek yardımıyla anlayacağımız bu rastgele değişkenin momentleri, m'si mavi olan N adet kalem içeren bir kutudan n adet kalemin rastgele seçildiğini varsayalım, A olsuni i-inci kalemin mavi olduğu olayları belirtin, Şimdi X, seçilen mavi kalemin sayısıdır, A olaylarının sayısına eşittir1,A2,…..,An bu, seçilen i'inci kalemin, m'si mavi olan N kalemden herhangi birine eşit olasılığa sahip olması nedeniyle oluşur.

ve bu yüzden

bu verir

bu nedenle hipergeometrik rastgele değişkenin varyansı

daha yüksek anlar için benzer şekilde

bundan dolayı

Negatif hipergeometrik rastgele değişkenlerin momentleri

  n'si özel ve m'si sıradan olan n+m aşı içeren bir paket örneğini ele alalım, bu aşılar birer birer çıkarılır ve her yeni çıkarmanın pakette kalan aşılardan herhangi biri olma olasılığı eşit olur. Şimdi rasgele değişken Y, toplam r özel aşı kaldırılana kadar geri çekilmesi gereken aşı sayısını göstersin, bu negatif hipergeometrik dağılımdır, bu bir şekilde negatif binomdan binom'a ve hipergeometrik dağılıma benzer. bulmak için olasılık k-1 beraberliği r-1 özel ve kr sıradan aşı verdikten sonra k. beraberlik özel aşı verirse kütle fonksiyonu

şimdi rastgele değişken Y

Y=r+X

A olayları içini

as

dolayısıyla Y'nin varyansını bulmak için X'in varyansını bilmeliyiz, yani

bundan dolayı

KOVARYANS             

İki rastgele değişken arasındaki ilişki, istatistiksel parametre kovaryansı ile temsil edilebilir, iki rastgele değişken X ve Y'nin kovaryansının tanımı, sırasıyla X ve Y rastgele değişkenlerinin g ve h iki fonksiyonunun beklentisinin verdiğini hatırlatır.

Bu beklenti ilişkisini kullanarak kovaryansı şu şekilde tanımlayabiliriz:

   “ Cov(X,Y) ile gösterilen rasgele değişken X ile rasgele değişken Y arasındaki kovaryans şu şekilde tanımlanır:

beklenti tanımını kullanarak ve genişleyerek elde ederiz

X ve Y rasgele değişkenleri bağımsızsa, o zaman açıktır ki

ancak bunun tersi doğru değildir, örneğin

ve rasgele değişken Y'yi şu şekilde tanımlamak

so

burada açıkça X ve Y bağımsız değil ama kovaryans sıfır.

kovaryansın özellikleri

  X ve Y rasgele değişkenleri arasındaki kovaryans, aşağıdaki gibi bazı özelliklere sahiptir.

kovaryans dışındaki tanımı kullanarak, ilk üç özellik doğrudandır ve dördüncü özellik, aşağıdakileri dikkate alarak takip eder:

şimdi tanım gereği

kovaryans

Toplamların varyansı

Bu özelliklerden elde edilen önemli sonuç,

as

X isei o zaman çift bağımsızdır

Örnek: Binom rastgele değişkenin varyansı

  X rastgele değişken ise

nerede Xi bağımsız Bernoulli rastgele değişkenleridir, öyle ki

 daha sonra n ve p parametreleriyle bir binom rasgele değişken X'in varyansını bulun.

Çözüm:

beri

yani elimizdeki tek değişken için

yani varyans

Örnek

  Bağımsız rastgele değişkenler için Xi ilgili ortalamalar ve varyans ve sapmalı yeni bir rastgele değişken ile

sonra hesapla

çözüm:

Yukarıdaki özelliği ve tanımı kullanarak elimizdeki

şimdi rastgele değişken S için

KOVARYANS

beklentiyi al

Örnek:

A ve B olayları için gösterge fonksiyonlarının kovaryansını bulun.

Çözüm:

A ve B olayları için gösterge fonksiyonları

yani bunların beklentisi

[lateks]E[I_{A}I_{B}] =P(AB)[/lateks]

yani kovaryans

[lateks]Cov(I_{A},I_{B}) = P(AB) – P(A)P(B)[/lateks]

[lateks]= P(B)[P(A/B) – P(A)][/lateks]

Örnek:

     Göstermektedir

[latex]Cov(X_{i}- \overline{X}, \overline{X}) =0[/lateks]

nerede Xi varyanslı bağımsız rastgele değişkenlerdir.

Çözüm:

Özellikleri ve tanımı kullanan kovaryans,

[lateks]Cov(X_{i}- \overline{X}, \overline{X}) = Cov(X_{i}, \overline{X}) – Cov(\overline{X}, \overline{X} )[/lateks]

[latex]Cov\left ( X_{i}, \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} X_{j} \sağ ) – Var(\overline{X})[/latex ]

[lateks]= \frac{1}{n} \sum_{j=1}^{n} Cov(X_{i},X_{j}) – \frac{\sigma ^{2}}{n}[ /lateks]

[lateks]= \frac{\sigma ^{2}}{n} – \frac{\sigma ^{2}}{n} =0[/lateks]

Örnek:

  Gerçek bir sayı ile ölçülen belirli bir konu hakkında her birinin fikri olan N kişiden oluşan bir kümede, örneklenen n değerin toplamı olan rastgele değişken S'nin ortalamasını ve varyansını hesaplayın. v kişinin konuyla ilgili “duygu gücünü” temsil eder. İzin vermek  kişinin duygularının gücünü temsil eder  bilinmeyen, bilgi toplamak için N'den rastgele bir n numunesi alınır, bu n kişi sorgulanır ve vi'yi hesaplamak için duyguları elde edilir.

Çözüm

gösterge fonksiyonunu şu şekilde tanımlayalım:

[latex]I_{i}=\begin{durumlar} 1 &\text{i kişisi rastgele örnekteyse } \\ 0 &\text{aksi halde } \end{durumlar}[/latex]

böylece S'yi şu şekilde ifade edebiliriz:

[lateks]S = \sum_{i=1}^{N} v_{i}I_{i}[/lateks]

ve beklentisi olarak

[lateks]E[S] = \sum_{i=1}^{N} v_{i}E[I_{i}][/lateks]

bu varyansı şu şekilde verir

[lateks]Var(S) =\sum_{i=1}^{N} Var(v_{i}I_{i}) +2\sum_{}^{}\sum_{i< j}^{} Cov (v_{i}I_{i}, v_{j}I_{j})[/lateks]

[lateks]=\sum_{i=1}^{N} v_{i}^{2} Var(I_{i}) +2\sum_{}^{}\sum_{i< j}^{} v_ {i}v_{j} Cov(I_{i}, I_{j})[/lateks]

beri

[lateks]E[I_{i}] =\frac{n}{N}[/lateks]

[lateks]E[I_{i} I_{j}] =\frac{n}{N} \frac{n-1}{N-1}[/lateks]

Elimizdeki

[lateks]Var (I_{i}) =\frac{n}{N}\left ( 1- \frac{n}{N} \sağ )[/lateks]

[lateks]Cov(I_{i}, I_{j}) = \frac{n(n-1)}{N(N-1)} -\left ( \frac{n}{N} \sağ )^ {2}[/lateks]

[lateks]= \frac{-n(N-1)}{N^{2}(N-1)}[/lateks]

[latex]E[s] =n\sum_{i=1}^{N}\frac{v_{i}}{N} =n\overline{v}[/lateks]

[lateks]Var(S)=\frac{n}{N}\frac{Nn}{N} \sum_{i=1}^{N}v_{i}^{2} -\frac{2n(Nn )}{N^{2}(N-1)} \sum \sum_{i< j}^{} v_{i}v_{j}[/lateks]

kimliğini biliyoruz

[lateks](v_{1} + \cdot \cdot \cdot + v_{N})^{2} =\sum_{i=1}^{N}v_{i}^{2} +2 \sum \ toplam_{i< j}^{} v_{i}v_{j}[/lateks]

so

[lateks]Var(S) =\frac{n(N-1)}{(N-1)} \left ( \frac{\sum_{i=1}^{N}v_{i}^{2} }{N} -\overline{v}^{2} \sağ )[/lateks]

[lateks]E[S]= n\overline{v}= np \ \ beri \ \ n\overline{v}=\frac{Np}{N}=p[/latex]

[lateks]Var(S)= \frac{n(Nn)}{N-1} \left ( \frac{Np}{N} -p^{2} \sağ )[/latex]

[lateks]= \frac{n(Nn)}{N-1} p(1-p)[/lateks]

böylece söz konusu rastgele değişken için ortalama ve varyans olacaktır

[lateks]E\sol [ \frac{S}{n} \sağ ] =p[/lateks]

[lateks]Var\left ( \frac{S}{n} \sağ )=\frac{Nn}{n(N-1)}p(1-p)[/lateks]

Sonuç:

İki rastgele değişken arasındaki korelasyon kovaryans olarak tanımlanır ve kovaryans kullanılarak farklı rastgele değişkenler için varyansın toplamı elde edilir, kovaryans ve beklenti tanımı yardımıyla farklı anlar elde edilir, daha fazla okumaya ihtiyacınız varsa, devam edin.

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

Sheldon Ross tarafından olasılıkta ilk ders

Schaum'un Olasılık ve İstatistik Anahatları

ROHATGI ve SALEH tarafından olasılık ve istatistiklere giriş.

Matematikle ilgili daha fazla gönderi için lütfen sayfamızı takip edin. matematik sayfası

doktor MUHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ben DR'yim. Muhammed Mazhar Ul Haque. Doktoramı tamamladım. Matematik alanında ve Matematik alanında yardımcı doçent olarak çalışmaktadır. 12 yıllık öğretmenlik tecrübesine sahip olmak. Saf Matematikte, tam olarak Cebirde engin bilgiye sahip olmak. Problem tasarlama ve çözme konusunda muazzam bir yeteneğe sahip olmak. Adayları performanslarını artırmaları için motive edebilir. Hem yeni başlayanlar hem de uzmanlar için Matematiği Basit, İlginç ve Kendini Açıklayıcı hale getirmek için Lambdageeks'e katkıda bulunmayı seviyorum. LinkedIn üzerinden bağlanalım - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Son Yazılar