Kesikli Rastgele Değişken ve Matematiksel Beklenti

Genellikle herhangi bir rastgele veya rastgele olmayan deneyin tüm olası sonuçlarıyla ilgilenmiyoruz, bunun yerine olumlu olaylar için bazı olasılık veya sayısal değerlerle ilgileniyoruz, örneğin toplam için iki zar attığımızı varsayalım 8 o zaman değiliz. 2 veya (6), (3,5), (5,3), (4,4), vb. 6,2 ikinci zarı olan ilk zarın sonucuyla ilgileniyor. Aynı şekilde, rezervuarın günlük yaşamdaki rastgele deneyi için, su seviyesinin günlük olarak artması veya azalması ile ilgilenmiyoruz, sadece tamamlandıktan sonra yağışlı mevsim su seviyesi ile ilgileniyoruz.

Dolayısıyla ilgilendiğimiz bu tür sayısal nicelikler, ilgili rastgele deneyin rastgele değişkeni olarak kabul edilir. Bu amaçla rastgele deneyin sonuçlarına sayısal olarak olası gerçek değerleri atarız. Sonuca sayısal değer atamanın gösterimi için, bir madeni para atma deneyini düşünün, rastgele deneyin örnek uzayında sırasıyla kafa ve iz için sayısal değer 0 ve 1 atadık.

Ayrık rassal değişken

Ayrık rassal değişken sayısı sonlu veya sayılabilir sonsuz olan rasgele değişken olarak tanımlanabilir ve sonlu veya sayılabilir sonsuz olmayanlar ayrık olmayan rasgele değişkenlerdir. Örnek uzayın her elemanı için gerçek bir sayı atamaktayız, bu X ile gösterilen gerçek değerli fonksiyon olarak yorumlanabilir, yani X:S→R. Bu fonksiyona, fiziksel, geometrik veya başka herhangi bir önemi olan rastgele değişken veya stokastik fonksiyon diyoruz.

Örnek E-posta: İki zar atma deneyini düşünün, ardından rastgele değişken veya stokastik fonksiyon zarda görünen noktaların toplamını ve ardından örnek uzay için olası değerleri temsil eder

S={(1,1), (1, 2), (1,3), (1,4), (1,5) , (1,6) ,

(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6),

(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6),

(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),

(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6),

(6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)}

(2) için X=1,1 olacaktır

Aşağıdakilerden (3), (1,2) vb. için X=2,1 kolayca anlayabiliriz

X = 2	(1,1)	(1,2)	(1,3)	(1,4)	(1,5)	(1,6)
X = 3	(2,1)	(2,2)	(2,3)	(2,4)	(2,5)	(2,6)
X = 4	(3,1)	(3,2)	(3,3)	(3,4)	(3,5)	(3,6)
	(4,1)	(4,2)	(4,3)	(4,4)	(4,5)	(4,6)
X = 5	(5,1)	(5,2)	(5,3)	(5,4)	(5,5)	(5,6)
X = 6	(6,1)	(6,2)	(6,3)	(6,4)	(6,5)	(6,6)
X = 7	X = 8	X = 9	X = 10	X = 11		X = 12

Yukarıdaki tabloda sağdan sola çapraz elemanlar, rastgele değişken veya stokastik fonksiyon tarafından ifade edilen toplamı verecektir.

İlgili rastgele değişkenin olasılığı aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

Ayrık rassal değişken — Ayrık Rastgele Değişken: iki zar örnek uzayının atılması

Kesikli Olasılık Dağılımı

Kesikli olasılık dağılımı doğası gereği kesikli olan rastgele değişkenlerin olasılıklarıdır, özellikle x ise₁, x₂, x₃, x₄, ………., x_k değerleri Ayrık rassal değişken X sonra P(x₁), P(x₂), P(x₃), P(x₄), ……… .P(x_k) karşılık gelen olasılıklardır.

Olasılık fonksiyonu/olasılık dağılımı olarak belirtebiliriz

P(X=x)=f(x)

ve olasılık tanımını takiben, bu fonksiyon aşağıdaki koşulları karşılar.

f(x)≥0
Σ f(x)=1, burada bu toplama x için toplam toplamadır.

Örnek: Bir madeni para iki kez atılırsa, gelen izlerin sayısını rastgele değişken X olarak ifade edersek, o zaman

Çıktıları	TT	TH	HT	HH
X	2	1	1	0

Eğer adil parayı alırsak, yukarıdaki iki kez atma sonucu olacak ve böyle bir rastgele değişkenin olasılığı olacaktır.

P (X=0) = P(H,H)=1/4

P (X=1) = P (TH veya HT) = P (TH ∪ HT) = P ( TH) + P ( HT)=1/4+1/4=1/2

ve P ( X=2) = P (TT) =1/4

Bu olasılık dağılımını aşağıdaki gibi tablolaştırabiliriz.

X	0	1	2
P(X=x)=f(x)	¼	½	1/4

Kümülatif Dağıtım Fonksiyonu (cdf)/Dağıtım Fonksiyonu

tanımlayacağız Dağıtım işlevi or Kümülatif dağılım fonksiyonu (cdf) F(x) ile gösterilen ayrık rastgele değişken X için, for-∞≤x≤∞

F(x)=P(X≤x)

takip etmesi şartıyla

Herhangi bir x,y , x≤y, F(x) ≤ F(y) için, yani kümülatif dağılım fonksiyonu F(x) azalan değildir.
F(x) =0 ve F(x)=1
F(x+h)=F(x), ∀ x yani . kümülatif dağılım fonksiyonu F(x) sağ süreklidir.

için beri Ayrık rassal değişken X=x olasılığı P(X=x), x için₁<X<x₂ P(x olacak₁<X<x₂) ve X≤x için P(X≤x).

Ayrık dağıtım fonksiyonu için Distribution fonksiyonunu aşağıdaki gibi yazabiliriz.

olasılık fonksiyonunu dağılım fonksiyonundan şu şekilde elde edebiliriz:

P (X=x) = f(x) =F(x)-F(u)

Örnek: The olasılık kesikli rasgele değişken için aşağıdaki gibi verilir

X	0	1	2	3	4	5	6	7
P (x)	0	1/10	1/5	1/5	3/10	1/100	1/50	17/100

Kümülatif dağılım fonksiyonu

F2, F5, F(7)'yi buldunuz mu?

Çözüm:

Matematiksel Beklenti

Matematiksel beklenti için çok önemli bir kavramdır. olasılık teorisi istatistik bakış açısının yanı sıra beklenti veya beklenen değer olarak da bilinir, rastgele değişkenlerin ve çarpmadaki olasılıklarının toplamı olarak tanımlanabilir, yani eğer x ise₁, x₂, x₃, x₄, ……….x_n ayrık rasgele değişken X'in değerleri, ardından P(x₁),P(x₂),P(x₃),P(x₄),……….P(xn) karşılık gelen olasılıklardır. rastgele değişkenin matematiksel beklentisi X, E(x) ile şu şekilde gösterilir:

Örnek: 72'den 1'ye kadar numaralandırılmış 72 kartlık bir desteden bir seferde 8 kart çekildiğinde, çekilen biletlerin üzerindeki sayıların toplamının beklenen değerini bulun.

Çözüm:. rasgele değişkenleri göz önünde bulundurun x₁, x₂, x₃, x₄,……….x_n 1, 2, 3, 4, ………, 72 numaralı kartları temsil eden

yani 72 karttan herhangi birinin x olma olasılığı

P(x_i)=1/n=1/72

o zamandan beri beklenti olacak

E(x)=x₁.(1/n)+x₂.(1/n)+x₃.(1/n)+…………+x_n.(1/n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+72.(1/n)

={1+2+3+……………..+72}*(1/72)=72*(72+1)/2*(1/72)=73/2

Şimdi bu tür 8 kart için beklenen değer

E(x)=x₁.(1/n)+x₂.(1/n)+x₃.(1/n)+…………+x₈.(1/n)

E(x)=1.(1/n)+2.(1/n)+3.(1/n)+……………+8.(1/n)

={1+2+3+……………..+8}*(1/72)

=8*(8+1)/2*(1/72)=12

Varyans, Standart sapma ve ortalama sapma Matematiksel Beklenti ile

The istatistiklerin önemli kavramları standart sapma ve varyans matematiksel beklenti cinsinden ifade edebiliriz, bu nedenle rasgele değişkenler x ise₁, x₂, x₃, x₄, ……….x_n karşılık gelen olasılıklarla P(x₁), P(x₂), P(x₃), P(x₄), ……….P(x_n) o zaman varyans olacak

Örnek: Bir oyunda adil bir zar kullanılırsa ve zarda herhangi bir tek değer gelirse oyuncu kazanır ve 20 gelirse 1 Rs, 40 için 3 Rs ve 60 için 5 Rs ve zarın başka bir yüzü varsa para ödülü verilir. oyuncu için Rs 10 kayıp geldi. varyans ve standart sapma ile kazanılabilecek beklenen parayı bulun.

Çözüm:

Adil zar için olasılıkların dağılımını biliyoruz,

X	1	2	3	4	5	6
P(X=x)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

standart sapma

Yüz aşağıdaki gibi geldiğinde kazanılan veya kaybedilen oyun gereksinimine göre zar dönüşümü için X rastgele değişken olsun,

X	+ 20	-10	40	-10	60	-10
P(X=x)	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

standart sapma

yani herhangi bir oyuncu tarafından kazanılan beklenen miktar

E(x)=(20).(1/6)+(-10).(1/6)+(40).(1/6)+(-10).(1/6)+(60).(1/6)+(-10).(1/6)=15

yani herhangi bir oyuncunun kazandığı beklenen miktar μ=15 olur

Matematiksel beklentinin yanı sıra varyansın sonucu, gereksinime göre ikiden fazla değişken için genelleştirilebilir.

Sonuç:

Bu yazıda temel olarak ayrık rastgele değişken, olasılık dağılımı ve cdf kümülatif dağılım fonksiyonu olarak bilinen dağılım fonksiyonunu tartıştık. Ayrık rasgele değişken için Matematiksel Beklenti ve böyle bir ayrık rastgele değişken için ortalama sapma, varyans ve standart sapmanın ne olacağı bir sonraki makalede uygun örnekler yardımıyla açıklanır, aynı şeyi sürekli rastgele değişken için tartışacağız, daha fazla okumak istiyorsanız, devam edin:

Matematik hakkında daha fazla konu için lütfen bunu takip edin bağlantı.

Schaum'un Olasılık ve İstatistik Anahatları

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability