Gama Dağılımı Üstel Ailesi: 21 Önemli Gerçek


içerik

  1. Gamma dağılımlarının özel formu ve Gamma dağılımının ilişkileri
  2. Gama dağılımı üstel ailesi
  3. Gama ve normal dağılım arasındaki ilişki
  4. Poisson gama dağılımı | poisson gama dağılımı negatif binom
  5. Weibull gama dağılımı
  6. Gerçek hayatta gama dağılımının uygulanması | gama dağıtımı kullanımları | istatistikte gama dağılımının uygulanması 
  7. Beta gama dağıtımı | gama ve beta dağılımı arasındaki ilişki
  8. İki değişkenli gama dağılımı
  9. Çift gama dağılımı
  10. Gama ve üstel dağılım ilişkisi | üstel ve gama dağılımı | gama üstel dağılım
  11. Uygun gama dağılımı
  12. Kaydırılmış gama dağılımı
  13. Kesilmiş gama dağılımı
  14. Gama dağılımının hayatta kalma işlevi
  15. gama dağıtımının MLE'si | maksimum olabilirlik gama dağılımı | gama dağılımının olabilirlik fonksiyonu
  16. Momentlerin gama dağılımı parametresi tahmin yöntemi | moment tahmincisi gama dağılımı yöntemi
  17. Gama dağılımı için güven aralığı
  18. Gama dağılımı eşleniği üstel dağılımdan önce | gama ön dağıtımı | arka dağılım poisson gama
  19. Gama dağılımı nicel işlevi
  20. Genelleştirilmiş gama dağılımı
  21. Beta genelleştirilmiş gama dağılımı

Gamma dağılımlarının özel formu ve Gamma dağılımının ilişkileri

  Bu makalede, gama dağılımlarının özel formları ve gama dağılımının farklı sürekli ve ayrık rastgele değişkenlerle ilişkileri tartışılacak ve ayrıca gama dağılımı kullanılarak popülasyon örneklemesinde bazı tahmin yöntemleri kısaca tartışılacaktır.

Gama dağılımı üstel ailesi

  Gama dağılımı üstel ailesi ve gerçek hayat problemlerinin çoğu gama dağılımı üstel ailesinde modellenebildiğinden ve üstel aile içinde hızlı ve kullanışlı hesaplama kolayca yapılabildiğinden, büyük ölçüde ve uygulanabilir dağılım ailesi olan iki parametreli üstel ailedir, iki parametrede olasılık yoğunluk fonksiyonunu şu şekilde alırsak

α (alfa)'nın bilinen değerini kısıtlarsak, bu iki parametre ailesi bir parametre üstel ailesine indirgenecektir.

ve λ için (lambda)

Gama ve normal dağılım arasındaki ilişki

  Gama dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonunda, alfayı 50'ye yaklaştırırsak, yoğunluk fonksiyonunun doğasını şu şekilde elde ederiz:

Gama dağılımı üstel ailesi
Gama dağılımı üstel ailesi

gama dağılımındaki şekil parametresini bile artırıyoruz, bu da normal dağılım normal eğrisinin benzerliğine neden oluyor, eğer şekil parametresi alfa sonsuzluğa eğilimliyse, gama dağılımı daha simetrik ve normal olacaktır, ancak alfa gamadaki x'in sonsuz değerine eğilim gösterdiğinden dağılım eksi sonsuz olma eğiliminde olacaktır, bu da gama dağılımının sonsuz desteğinin yarı sonsuz olmasına neden olur, bu nedenle gama dağılımı bile simetrik hale gelir, ancak normal dağılımla aynı olmaz.

poisson gama dağılımı | poisson gama dağılımı negatif binom

   Poisson gama dağılımı ve binom dağılımı, rastgele değişkeni ayrık değerlerle ilgilenen, özellikle Bernoulli denemeleri biçimindeki başarı ve başarısızlıkla ilgilenen ayrık rastgele değişkendir ve yalnızca sonuç olarak rastgele başarı veya başarısızlık verir, şimdi Poisson ve gama dağılımının karışımı da Negatif binom dağılımı olarak bilinen, Bernoulli'nin denemesinin tekrarlanan denemesinin sonucudur, bu, deneme sayısında r-th başarısı ortaya çıkıyormuş gibi farklı bir şekilde parametreleştirilebilir, ardından şöyle parametrelenebilir:

ve r-th başarısından önceki başarısızlıkların sayısı ise, o zaman şu şekilde parametrelendirilebilir:

ve r ve p değerleri göz önüne alındığında

Negatif binom veya poisson gama dağılımı için parametreleştirmenin genel biçimi şu şekildedir:

ve alternatif olan

bu binom dağılımı, katsayı nedeniyle negatif olarak bilinir.

ve bu negatif binom veya poisson gama dağılımı, bu dağılım için bir olarak elde edeceğimiz toplam olasılık olarak iyi tanımlanır.

Bu negatif binom veya poisson gama dağılımı için ortalama ve varyans,

aşağıdaki hesaplama ile elde edebileceğimiz poisson ve gama ilişkisi

Böylece negatif binom, poisson ve gama dağılımının karışımıdır ve bu dağılım, ayrık ve sürekli karışıma ihtiyaç duyduğumuz günlük problem modellemelerinde kullanılır.

Gama dağılımı üstel ailesi
Gama dağılımı üstel ailesi

Weibull gama dağılımı

   Weibull dağılımı olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip olduğundan, Weibull'un yanı sıra gama dağılımını da içeren üstel dağılımın genelleştirilmesi vardır.

ve kümülatif dağılım fonksiyonu olarak

Gama dağılımının pdf ve cdf'si zaten yukarıda tartıştığımız yerde, Weibull ve gama dağılımı arasındaki ana bağlantı, her ikisi de üstel dağılımın genelleştirilmesidir, aralarındaki fark, değişkenin gücü birden büyük olduğunda Weibull dağılımı, daha az için hızlı sonuç verir. 1 gama'dan daha hızlı sonuç verir.

     Ayrı bir tartışma gerektiren genelleştirilmiş Weibull gama dağılımını burada tartışmayacağız.

gerçek hayatta gama dağılımının uygulanması | gama dağıtımı kullanımları | istatistikte gama dağılımının uygulanması 

  Toplama sigorta talebi, yağış miktarı birikimi, herhangi bir ürün için üretimi ve dağıtımı, belirli ağdaki kalabalık ve telekom değişiminde vb. durumu modellemek için gama dağılımının kullanıldığı birçok uygulama vardır. bekleme süresi tahmin nth etkinlik için bir sonraki etkinliğe kadar. Gerçek hayatta gama dağılımının birçok uygulaması vardır.

beta gama dağıtımı | gama ve beta dağılımı arasındaki ilişki

    Beta dağılımı, olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip rastgele değişkendir.

nerede

gama fonksiyonu ile ilişkisi olan

ve gama dağılımıyla ilgili beta dağılımı, sanki X, alfa ve beta bir olarak parametreli gama dağılımı ve Y, alfa parametresi bir ve beta olan gama dağılımı, o zaman rastgele değişken X/(X+Y) beta dağılımıdır.

veya X Gama(α,1) ve Y Gama (1, β) ise, X/(X+Y) rastgele değişkeni Beta'dır (α, β) 

ve ayrıca

iki değişkenli gama dağılımı

     İki boyutlu veya iki değişkenli bir rasgele değişken, eğer bir f(x,y) fonksiyonu varsa, ortak dağılım fonksiyonu

nerede

ve tarafından elde edilen ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

iki değişkenli gama dağılımının sayısı vardır, bunlardan biri olasılık yoğunluk fonksiyonu ile iki değişkenli gama dağılımıdır.

çift ​​gama dağılımı

  Çift gama dağılımı, alfa parametresine ve ortak olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip gama rasgele değişkenleri olan iki değişkenli dağılımlardan biridir.

bu yoğunluk, ilgili rastgele değişkenlerle çift gama dağılımını oluşturur ve çift gama dağılımı için moment üreten fonksiyon

gama ve üstel dağılım arasındaki ilişki | üstel ve gama dağılımı | gama üstel dağılım

   üstel dağılım olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip dağılım olduğundan

[lateks]f(x) = \begin{kasalar} \ \lambda e^{-\lambda x} &\ if \ \ x\geq 0 \ \ 0 &\ \ if x< 0 \end{durumlar}[ /lateks]

ve gama dağılımı olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir

açıkça alfa değerini bir olarak koyarsak, üstel dağılımı elde ederiz, yani gama dağılımı, bir sonraki n'inci olayın meydana gelmesine kadar bekleme süresini tahmin eden üstel dağılımın genelleştirilmesinden başka bir şey değildir, üstel dağılım ise beklemeyi tahmin eder. bir sonraki olayın gerçekleşmesine kadar geçen süre.

uygun gama dağılımı

   Verilen verileri gama dağılımı biçiminde uydurmak, şekil, konum ve ölçek parametrelerini içeren iki parametreli olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmayı, dolayısıyla bu parametreleri farklı uygulamalarla bulma ve ortalama, varyans, standart sapma ve moment üreten fonksiyon, gama dağılımının uydurmasıdır, farklı gerçek hayat problemleri gama dağılımında modelleneceğinden, duruma göre bilgiler gama dağılımına uygun olmalıdır, bu amaçla çeşitli ortamlarda çeşitli teknikler zaten var, örneğin R, Matlab, excel vb.

kaydırılmış gama dağılımı

     Uygulamaya ve ihtiyaca göre, iki parametreli gama dağılımından gereken dağılımı değiştirme gereksinimi yeni genelleştirilmiş üç parametre veya herhangi bir başka genelleştirilmiş gama dağılımı şekil konumunu ve ölçeğini değiştirdiğinde, bu tür gama dağılımı kaydırılmış gama dağılımı olarak bilinir.

kesik gama dağılımı

     Şekil ölçeği ve konum parametreleri için gama dağılımının aralığını veya alanını kısıtlarsak, kısıtlanmış gama dağılımı, koşullara dayalı olarak kesilmiş gama dağılımı olarak bilinir.

gama dağılımının hayatta kalma fonksiyonu

                Gama dağılımı için hayatta kalma fonksiyonu, s(x) fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır.

mle gama dağılımı | maksimum olabilirlik gama dağılımı | gama dağılımının olabilirlik fonksiyonu

maksimum olasılığın örneği popülasyondan bir temsilci olarak aldığını biliyoruz ve bu örnek, gama dağılımına gitmeden önce yoğunluk fonksiyonunun parametreleri için olasılık yoğunluk fonksiyonunun bir tahmincisi olarak kabul ediyor X rastgele değişkeni için bazı temel bilgileri hatırlıyoruz. parametre olarak teta ile olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde olabilirlik fonksiyonuna sahiptir

bu şu şekilde ifade edebiliriz

ve bu olabilirlik fonksiyonunu maksimize etme yöntemi şu şekilde olabilir:

eğer böyle bir teta bu denklemi sağlıyorsa ve log monoton bir fonksiyon olduğu için log cinsinden yazabiliriz

ve böyle bir üstünlük varsa

şimdi gama dağılım fonksiyonu için maksimum olasılığı şu şekilde uyguluyoruz:

fonksiyonun log olasılığı

öyle mi

ve dolayısıyla

Bu şu şekilde de elde edilebilir:

by

ve parametre farklılaştırılarak elde edilebilir

momentlerin gama dağılımı parametre tahmin yöntemi | moment tahmincisi gama dağılımı yöntemi

   Sırasıyla n. mertebe beklentisi yardımıyla popülasyonun ve örneğin anlarını hesaplayabiliriz, moment yöntemi bu dağılım anlarını eşitler ve parametreleri tahmin etmek için örneklem, olasılık yoğunluk fonksiyonu ile gama rastgele değişken örneğimiz olduğunu varsayalım.

bu olasılık yoğunluk fonksiyonu için ilk çekme momentlerinin

so

lambda yerine koyarsak ikinci andan itibaren alacağız

ve bu alfa değerinden

ve şimdi lambda olacak

ve örnek kullanan moment tahmincisi

gama dağılımı için güven aralığı

   gama dağılımı için güven aralığı, aralığın parametrenin gerçek değerine yüzde kaç oranında sahip olması beklendiğini söyleyen bilgiyi ve belirsizliğini tahmin etmenin yoludur, bu güven aralığı rastgele değişkenlerin gözlemlerinden elde edilir, çünkü elde edilir. gama dağılımı için güven aralığını elde etmek için rastgele kendisi rastgeledir, takip etmemiz gereken farklı uygulamalarda farklı teknikler vardır.

üstel dağılımdan önce gama dağılımı eşleniği | gama ön dağıtımı | arka dağılım poisson gama

     Arka ve ön dağılım, Bayesian terminolojileridir. olasılık teorisi ve birbirlerine eşleniktirler, herhangi iki dağılım eşleniktir eğer bir dağılımın sonuncusu başka bir dağılım ise, teta açısından gama dağılımının üstel dağılımdan önce eşlenik olduğunu gösterelim

olasılık yoğunluk fonksiyonu ise gama dağılımı teta açısından şu şekildedir

teta için dağılım fonksiyonunun verilen verilerden üstel olduğunu varsayalım

yani ortak dağıtım

ve ilişkiyi kullanarak

Elimizdeki

hangi

bu nedenle gama dağılımı, üstel dağılımdan önce eşleniktir, çünkü arka gama dağılımıdır.

gama dağılımı nicel işlevi

   Gama dağılımının Qauntile fonksiyonu, gama dağılımındaki değerlerin sıra sırasını ilişkilendiren gama dağılımındaki noktaları veren fonksiyon olacaktır, bu kümülatif dağılım fonksiyonu ve farklı diller için gama dağılımının niceliği için farklı algoritma ve fonksiyonlar gerektirir.

genelleştirilmiş gama dağılımı

    Gama dağılımının kendisi üstel dağılım ailesinin genelleştirilmesi olduğundan, bu dağılıma daha fazla parametre ekleyerek bize bu dağılım ailesinin daha fazla genellemesi olan genelleştirilmiş gama dağılımını verir, fiziksel gereksinimler farklı genellemeler verir, sık görülenlerden biri olasılık yoğunluk fonksiyonunu kullanmaktır. olarak

bu tür genelleştirilmiş gama dağılımı için kümülatif dağılım fonksiyonu şu şekilde elde edilebilir:

burada pay, tamamlanmamış gama işlevini şu şekilde temsil eder:

Bu eksik gama fonksiyonunu kullanarak, genelleştirilmiş gama dağılımı için hayatta kalma fonksiyonu şu şekilde elde edilebilir:

Olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip bu üç parametreli genelleştirilmiş gama dağılımının başka bir versiyonu şudur:

k, β, θ sıfırdan büyük parametreler olduğunda, bu genellemenin Weibull parametrelerinin yerine geçmesinin üstesinden gelmek için yakınsama sorunları vardır.

Bu parametreleştirme kullanılarak elde edilen yoğunluk fonksiyonunun yakınsaması elde edilir, bu nedenle yakınsama ile gama dağılımı için daha genelleme, olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip dağılımdır.

Beta genelleştirilmiş gama dağılımı

   Yoğunluk fonksiyonunda beta parametresini içeren gama dağılımı, çünkü bazen gama dağılımı yoğunluk fonksiyonu ile beta genelleştirilmiş gama dağılımı olarak bilinir.

kümülatif dağılım fonksiyonu ile

Gama dağılımı tartışmasında zaten ayrıntılı olarak tartışılan, daha ileri beta genelleştirilmiş gama dağılımı cdf ile şu şekilde tanımlanır:

burada B(a,b) beta fonksiyonudur ve bunun için olasılık yoğunluk fonksiyonu türev yoluyla elde edilebilir ve yoğunluk fonksiyonu şu şekilde olacaktır:

burada G(x) yukarıda tanımlanan kümülatif dağılımdır işlev gama dağılımının, bu değeri koyarsak, beta genelleştirilmiş gama dağılımının kümülatif dağılım fonksiyonu şudur:

ve olasılık yoğunluk fonksiyonu

kalan özellikler bu beta genelleştirilmiş gama dağılımı için genişletilebilir olağan tanımlarla.

Sonuç:

farklı biçimleri ve genellemeleri vardır. gama dağılımı ve Gamma dağılımı üstel ailesi, gerçek yaşam durumlarına göre mümkün olduğu için bu tür formlar ve genellemeler, popülasyon bilgi örneklemesinde gama dağılımının tahmin yöntemlerine ek olarak ele alınmıştır, Gamma dağılımı üstel ailesi hakkında daha fazla okumaya ihtiyacınız varsa, lütfen aşağıdaki bağlantıyı ziyaret edin. ve kitaplar. Matematik ile ilgili daha fazla konu için lütfen ziyaret edin bizim sayfamız.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

Sheldon Ross tarafından olasılıkta ilk ders

Schaum'un Olasılık ve İstatistik Anahatları

ROHATGI ve SALEH tarafından olasılık ve istatistiklere giriş

doktor MUHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ben DR'yim. Muhammed Mazhar Ul Haque. Doktoramı tamamladım. Matematik alanında ve Matematik alanında yardımcı doçent olarak çalışmaktadır. 12 yıllık öğretmenlik tecrübesine sahip olmak. Saf Matematikte, tam olarak Cebirde engin bilgiye sahip olmak. Problem tasarlama ve çözme konusunda muazzam bir yeteneğe sahip olmak. Adayları performanslarını artırmaları için motive edebilir. Hem yeni başlayanlar hem de uzmanlar için Matematiği Basit, İlginç ve Kendini Açıklayıcı hale getirmek için Lambdageeks'e katkıda bulunmayı seviyorum. LinkedIn üzerinden bağlanalım - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Son Yazılar