Hermite Polinomu: 9 Eksiksiz Kısa Bilgi


  Hermite polinomu, uygulamalarda ortogonal bir fonksiyon olarak yaygın olarak kullanılmaktadır. Hermite polinomu, Hermite diferansiyel denkleminin seri çözümüdür.

Hermite Denklemi

    Belirli katsayılarla ikinci dereceden diferansiyel denklem

d2y/dx2 – 2x dy/dx + 2xy = 0

Hermite denklemi olarak bilinir, bu diferansiyel denklemi çözerek polinomu elde ederiz. Hermit Polinomu.

denklemin çözümünü bulalım

d2y/dx2 – 2x dy/dx + 2ny = 0

diferansiyel denklemin seri çözümü ile

şimdi elimizdeki Hermite denklemindeki tüm bu değerleri yerine koyarsak

Bu denklem k=0 değerini sağlar ve k değerinin negatif olmayacağını varsaydığımız için şimdi en düşük dereceli x terimi içinm-2 İlk denklemde k=0 alın, ikincisi negatif değer verdiği için x katsayısım-2 is

a0m (m-1)=0 ⇒ m=0,m=1

bir şekilde0 ≠ 0

şimdi aynı şekilde x'in katsayısını eşitleyerekm-1 ikinci toplamdan

ve x'in katsayılarını eşitlemekm+k sıfıra,

ak + 2(m+k+2)(m+k+1)-2ak(m+kn) = 0

olarak yazabiliriz

ak + 2 = 2(m+kn)/(m+k+2)(m+k+1) ak

m=0 ise

ak + 2 = 2(kn)/(k+2)(k+1) ak

m=1 ise

ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2) birk

bu iki durum için şimdi k vakalarını tartışıyoruz

$m=0 olduğunda, birk + 2= 2(kn)/ (k+2)(k+1)} ak$

Eğer, $k=0 a2 =-2 n/2 bir0=-na0$

$k=1, bir3=2(1-n)/6 bir1 =-2(n-1)/3 ! a1$

$k=2 ise, bir4 =2(2-n)/12 bir2 =2 (2-n)/12 (-na0) = 22 n(n-2)/4 ! a0$

şimdiye kadar m=0 olduğunda iki koşulumuz var1=0, sonra bir3=a5=a7=….=a2r+1=0 ve ne zaman bir1 sıfır değil o zaman

bunu izleyerek a değerlerini koyun0,a1,a2,a3,a4 ve5 Elimizdeki

ve m=1a için1=0 k=0,1,2,3,….. koyarak elde ederiz

ak + 2 = 2(k+1-n)/(k+3)(k+2)ak

yani çözüm olacak

yani tam çözüm

burada A ve B keyfi sabitlerdir

Hermit Polinomu

   Hermite denkleminin çözümü y(x)=Ay biçimindedir.1(x)+Tarafından2(x) nerede y1(x) ve y2(x) yukarıda tartışıldığı gibi seri terimleridir,

bu serilerden biri, n, y çift ise, n negatif tam sayı değilse sona erer1 aksi takdirde sona erer2 n tek ise ve n=0,1,2,3,4…….. için bu polinomların

1,x,1-2x2, x-2/3 x3, 1-4x2+4/3x4, x-4/3x3+ 4/15x5

yani burada Hermite denkleminin çözümünün bu polinomların sabit katları olduğunu ve x'in en yüksek gücünü içeren terimlerin 2 biçiminde olduğunu söyleyebiliriz.nxn H ile gösterilirn(x) olarak bilinir Hermite polinomu

Hermite polinomunun üretme fonksiyonu

Hermite polinomu genellikle bağıntının yardımıyla oluşturma fonksiyonu kullanılarak tanımlanır.

[n/2], n/2'den küçük veya ona eşit en büyük tamsayıdır, bu nedenle değerini takip eder Hn(X) as

bu gösteriyor ki Hn(X) x cinsinden n dereceli bir polinomdur ve

Hn(x) = 2nxn + πn-2 (X)

nerede πn-2 (x), x cinsinden n-2 derecesinin polinomudur ve n'nin çift değeri için x'in çift işlevi ve n'nin tek değeri için x'in tek işlevi olacaktır, yani

Hn(-x) = (-1)n Hn(X)

başlangıç ​​Hermite polinomlarından bazıları

H0(x) = 1

H1(x) = 2x

H2(x) = 4x2 - 2

H3(x) = 8x3-12

H4(x) = 16x4 - 48 kat2+ 12

H5(x) = 32x2 - 160 kat3+ 120x

Rodrigue Formülü ile Hermite polinomunun üretme işlevi

Hermite Polinomu, üretme fonksiyonu kullanılarak Rodrigue formülü yardımıyla da tanımlanabilir.

üretme fonksiyonu ilişkisinden beri

  Maclaurin teoremini kullanarak,

or

z=xt koyarak ve

t=0 için, yani z=x verir

bunu başka bir şekilde gösterebiliriz

farklılaştırarak

t ile ilgili olarak

alma limiti t sıfıra eğilimlidir

şimdi x'e göre farklılaşıyor

alma limiti t sıfıra eğilimlidir

bu iki ifadeden yazabiliriz

aynı şekilde yazabiliriz

 n kez t=0 koyarak farklılaştırarak, şunu elde ederiz:

bu değerlerden yazabiliriz

bunlardan değerleri alabiliriz

Hermite Polinomu Üzerine Örnek           

  1. adi polinomunu bulunuz.

Çözüm: Hermite polinom tanımını ve sahip olduğumuz ilişkileri kullanarak

2. Sıradan polinomun Hermite polinomunu bulun

Çözüm: Verilen denklemi Hermite'e şu şekilde çevirebiliriz:

ve aynı güç katsayısını eşitleyen bu denklemden

dolayısıyla Hermite polinomu olacak

Hermite Polinomunun Ortogonalliği | Hermite Polinomunun Ortogonal Özelliği

Hermite polinomunun önemli özelliği, ortogonalliğidir.

Bu ortogonalliği kanıtlamak için şunu hatırlayalım:

Bu, Hermite polinomu için üretici fonksiyondur ve biliyoruz ki

yani bu iki denklemi çarparak elde ederiz

sonsuz sınırlar içinde çarpma ve bütünleştirme

dan beri

so

bu değeri yukarıdaki ifadede kullanarak

hangi verir

şimdi her iki taraftaki katsayıları eşitleyin

Bu, Hermite polinomunun ortogonal özelliğini gösterir.

  Hermite polinomunun ortogonal özelliğinin sonucu, yineleme bağıntısı dikkate alınarak başka bir şekilde gösterilebilir.

Hermite Polinomunun Ortogonalliği Üzerine Örnek

1. İntegrali değerlendirin

Çözüm: Hermit polinomunun diklik özelliğini kullanarak

buradaki değerler m=3 ve n=2 olduğundan

2. İntegrali değerlendirin

Çözüm: Hermite polinomunun ortogonallik özelliğini kullanarak yazabiliriz.

Hermite polinomunun yineleme bağıntıları

Hermite polinomunun değeri, yineleme bağıntıları ile kolayca bulunabilir.

Hermite polinomu
Hermit polinom yineleme bağıntıları

Bu ilişkiler tanım ve özellikler yardımıyla kolaylıkla elde edilebilir.

Kanıtlar:1. Hermite denklemini biliyoruz

y”-2xy'+2ny = 0

ve ilişki

x'e göre türev alarak kısmen şöyle yazabiliriz:

bu iki denklemden

şimdi n'yi n-1 ile değiştir

t katsayısını eşitleyerekn

yani gerekli sonuç

2. Benzer şekilde t denklemine göre kısmen türev alarak

elde ederiz

n=0 ortadan kalkacaktır, bu nedenle e'nin bu değerini koyarak

şimdi t'nin katsayılarını eşitliyoruzn

Böylece

3. Bu sonucu kanıtlamak için H'yi ortadan kaldıracağız.n-1 itibaren

ve

yani alırız

böylece sonucu yazabiliriz

4. Bu sonucu kanıtlamak için farklılaştırıyoruz

ilişkiyi anlıyoruz

değeri değiştirme

ve n'nin n+1 ile değiştirilmesi

hangi verir

Hermite polinomunun yineleme bağıntılarına ilişkin örnekler

1. Bunu göster

H2n(0) = (-1)n. 22n (1 / 2)n

Çözüm:

Elde ettiğimiz sonucu göstermek için

H2n(x) =

burada x=0 alarak şunu elde ederiz

2. Bunu göster

H'2n + 1(0) = (-1)n 22n + 1 (3 / 2)2

Çözüm:

Yineleme bağıntısından beri

H'n(x) = 2nHn-1(X)

burada n'yi 2n+1 ile değiştirin yani

H'2n-1(x) = 2(2n+1) H2n(X)

x=0 alarak

3. değerini bulun

H2n + 1(0)

Çözüm

bildiğimizden beri

burada x=0 kullanın

H2n-1(0) = 0

4. H' değerini bulun2n(0).

Çözüm :

yineleme ilişkimiz var

H'n(x) = 2nHn-1(X)

burada n'yi 2n ile değiştir

H'2n(x) = =2(2n)H2n-1(X)

x=0 koy

H'2n(0) = (4n)H2n-1(0) = 4n*0=0

5. Aşağıdaki sonucu göster

Çözüm :

Yineleme ilişkisini kullanma

H'n(x) = 2nHn-1 (X)

so

ve

d3/dx3 {Hn(x)} = 23n(n-1)(n-2)Hn-3(X)

bu m kez farklılaştırarak

hangi verir

6. Bunu göster

Hn(-x) = (-1)n Hn(X)

Çözüm :

yazabiliriz

t katsayısındann Elimizdeki

ve -x için

7. İntegrali değerlendirin ve gösterin

Çözüm : Bu integrali çözmek için entegrasyon parçalarını şu şekilde kullanın:

Şimdi İntegral işareti altındaki farklılaşma ile farklılaşır

x'e saygı

kullanma

H'n(x) = 2nHn-1 (X)

ve

H'm(x) = 2mHm-1 (X)

Elimizdeki

dan beri

𝝳 n,m-1 = 𝝳n+1, m

yani integralin değeri

Sonuç:

Uygulamada sıklıkla ortaya çıkan spesifik polinom Hermite polinomudur, bu nedenle temel tanım, üretme fonksiyonu, yineleme ilişkileri ve Hermite Polinomu ile ilgili örnekler burada kısaca tartışıldı, eğer daha fazla okumaya ihtiyacınız varsa,

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials

Matematikle ilgili daha fazla gönderi için lütfen sayfamızı takip edin. matematik sayfası

doktor MUHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ben DR'yim. Muhammed Mazhar Ul Haque. Doktoramı tamamladım. Matematik alanında ve Matematik alanında yardımcı doçent olarak çalışmaktadır. 12 yıllık öğretmenlik tecrübesine sahip olmak. Saf Matematikte, tam olarak Cebirde engin bilgiye sahip olmak. Problem tasarlama ve çözme konusunda muazzam bir yeteneğe sahip olmak. Adayları performanslarını artırmaları için motive edebilir. Hem yeni başlayanlar hem de uzmanlar için Matematiği Basit, İlginç ve Kendini Açıklayıcı hale getirmek için Lambdageeks'e katkıda bulunmayı seviyorum. LinkedIn üzerinden bağlanalım - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Son Yazılar