Ters Gama Dağılımı: 21 Önemli Gerçek


Ters gama dağılımı ve gama dağılımının moment üretme fonksiyonu

      Gama dağılımının devamında, gama dağılımının bazı temel özelliklerini takip ederek, ters gama dağılımı ve moment üreten fonksiyon kavramını, merkezi eğilimlerin ölçüsünü, ortalama, mod ve gama dağılımının medyanı kavramlarını göreceğiz.

gama dağılım özellikleri

Bazı gama dağılımının önemli özellikleri aşağıdaki gibi listelenir

Gama dağılımı için olasılık yoğunluk fonksiyonu

or

gama fonksiyonu nerede

2. Gama dağılımı için kümülatif dağılım işlevi,

burada f(x), yukarıda verilen olasılık yoğunluk fonksiyonudur, özellikle cdf

ve

sırasıyla veya

E[X]=α*β

ve

  • Gama dağılımı için moment üreten fonksiyon M(t)

or

  • pdf ve cdf için eğri
Ters gama dağılımı
  • Ters gama dağılımı, gama dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonunun tersini şu şekilde alarak tanımlanabilir:
  • Bağımsız gama dağılımının toplamı yine parametrelerin toplamı ile gama dağılımıdır.

ters gama dağılımı | normal ters gama dağılımı

                Olasılık yoğunluk fonksiyonundaki gama dağılımında ise

or

değişkeni karşılıklı veya tersi alırız, o zaman olasılık yoğunluk fonksiyonu olur

Bu nedenle, bu olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip rastgele değişkenin, ters gama rastgele değişkeni veya ters gama dağılımı veya ters çevrilmiş gama dağılımı olduğu bilinmektedir.

Yukarıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonu, herhangi bir parametrede lambda veya teta şeklinde alabiliriz, gama dağılımının tersi olan olasılık yoğunluk fonksiyonu, ters gama dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

Kümülatif dağılım işlevi veya ters gama dağılımının cdf'si

                Ters gama dağılımı için kümülatif dağılım işlevi, dağılım işlevidir.

f(x) ters gama dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonudur.

Ters gama dağılımının ortalaması ve varyansı

  Beklenti ve varyansın olağan tanımını izleyerek ters gama dağılımının ortalaması ve varyansı,

ve

Ters gama dağılımı kanıtının ortalaması ve varyansı

        Olasılık yoğunluk fonksiyonunu kullanarak ters gama dağılımının ortalamasını ve varyansını elde etmek için

ve beklentilerin tanımı için, önce x'in herhangi bir kuvveti için beklentiyi şu şekilde buluruz:

yukarıdaki integralde yoğunluk fonksiyonunu şu şekilde kullandık:

şimdi α'nın birden büyük ve n'nin bir olarak değeri için

benzer şekilde n=2 değeri 2'den büyük alfa içindir

bu beklentileri kullanmak bize varyansın değerini şu şekilde verecektir:

Ters gama dağılımı grafiği | Ters gama dağılımı grafiği

                Ters gama dağılımı, gama dağılımının tersidir, bu nedenle gama dağılımını gözlemlerken, olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip ters gama dağılımı eğrilerinin doğasını gözlemlemek iyidir.

ve aşağıdaki kümülatif dağılım fonksiyonu

Ters gama dağılımı
Ters gama dağılımı grafiği

Açıklama: olasılık yoğunluk fonksiyonu için grafikler ve α değerini 1 olarak sabitleyerek ve β değerini değiştirerek kümülatif dağılım fonksiyonu.

Açıklama: α değerini 2 olarak sabitleyerek ve β değerini değiştirerek olasılık yoğunluk fonksiyonu ve kümülatif dağılım fonksiyonu için grafikler

Açıklama: α değerini 3 olarak sabitleyerek ve β değerini değiştirerek olasılık yoğunluk fonksiyonu ve kümülatif dağılım fonksiyonu için grafikler.

Açıklama: β değerini 1 olarak sabitleyerek ve α değerini değiştirerek olasılık yoğunluk fonksiyonu ve kümülatif dağılım fonksiyonu için grafikler.

Açıklama: β değerini 2 olarak sabitleyerek ve α değerini değiştirerek olasılık yoğunluk fonksiyonu ve kümülatif dağılım fonksiyonu için grafikler

Açıklama: β değerini 3 olarak sabitleyerek ve α değerini değiştirerek olasılık yoğunluk fonksiyonu ve kümülatif dağılım fonksiyonu için grafikler.

gama dağılımının moment üreten fonksiyonu

Gama dağılımı için moment üreten fonksiyon kavramını anlamadan önce, bazı moment üreten fonksiyon kavramını hatırlayalım.

Anlar

    anı rastgele değişken olarak beklenti yardımı ile tanımlanır

bu, X rastgele değişkeninin r-inci momenti olarak bilinir, orijine ilişkin andır ve genel olarak ham moment olarak bilinir.

     Rastgele değişkenin ortalama μ hakkındaki r-inci momentini şu şekilde alırsak:

ortalamayla ilgili bu an, merkezi moment olarak bilinir ve beklenti, rastgele değişkenin doğasına göre olacaktır.

merkezi anda r değerlerini koyarsak, o zaman bazı başlangıç ​​anları elde ederiz.

Merkezi momentlerdeki iki terimli genişlemeyi alırsak, merkezi ve ham momentler arasındaki ilişkiyi şu şekilde kolayca elde edebiliriz:

ilk ilişkilerden bazıları aşağıdaki gibidir

Moment üreten fonksiyon

   Bir fonksiyon yardımıyla üretebildiğimiz momentler, moment üreten fonksiyon olarak bilinir ve şu şekilde tanımlanır:

bu fonksiyon, formlardan herhangi birinde üstel fonksiyonun genişlemesinin yardımıyla momentleri üretir.

Taylor formunu kullanarak

Bu genişletilmiş fonksiyonun t'ye göre farklılaştırılması, farklı momentleri şu şekilde verir:

türevi doğrudan olarak alırsak başka bir şekilde

çünkü her ikisi için ayrık

ve sürekli sahip olduğumuz

yani t=0 için alacağız

aynı şekilde

as

ve genel olarak

moment üreten fonksiyonlar için iki önemli ilişki vardır.

bir gama dağılımının moment üreten fonksiyonu | mgf gama dağılımı | gama dağılımı için moment üreten fonksiyon

Şimdi gama için moment üreten fonksiyon dağılımı pdf için M(t)

is

ve pdf için

moment üreten fonksiyon

gama dağılımı moment üreten fonksiyon kanıtı | mgf gama dağılımı kanıtı

    Şimdi önce olasılık yoğunluk fonksiyonunun biçimini şu şekilde alın:

[lateks]f(x) = \begin{kasalar} \frac{\lambda e^{-\lambda x}(\lambda x)^{\alpha -1}}{\tau (\alpha )} &\ x \geq 0 \ \0 &\ x < 0 \end{kasalar}[/lateks]

ve elimizdeki moment üreten fonksiyon M(t) tanımını kullanarak

Moment üreten fonksiyonun yardımıyla gama dağılımının ortalamasını ve varyansını bulabiliriz, bu fonksiyonun iki katına göre farklılaşarak elde ederiz.

t=0 koyarsak ilk değer

ve

Şimdi bu beklentilerin değerini koyarak

alternatif olarak formun pdf'si için

moment üreten fonksiyon olacak

ve türev almak ve t=0 koymak, aşağıdaki gibi ortalama ve varyansı verecektir

2. gama dağılımı anı

   Moment üreten fonksiyonu iki kez farklılaştırarak ve bu fonksiyonun ikinci türevine t=0 değerini koyarak gama dağılımının ikinci momentini elde ederiz.

gama dağılımının üçüncü anı

                Gama dağılımının üçüncü momentini, moment üreten fonksiyonu üç kez türevini alarak ve elde edeceğimiz mgf'nin üçüncü türevine t=0 değerini koyarak bulabiliriz.

veya doğrudan olarak entegre ederek

 gama dağılımı için sigma

   Türün gama dağılımının varyansının karekökünü alarak bulabileceğimiz gama dağılımının sigma veya standart sapması

or

alfa, beta ve lambda'nın tanımlanmış herhangi bir değeri için.

gama dağılımının karakteristik işlevi | gama dağılımı karakteristik fonksiyonu

      Moment üreten fonksiyondaki t değişkeni t=iω olarak tamamen hayali bir sayı ise, fonksiyon gama dağılımının karakteristik fonksiyonu olarak bilinir ve şu şekilde ifade edilir:

herhangi bir rastgele değişken için karakteristik fonksiyon olacaktır

Böylece gama dağılımı için, gama dağılımının pdf'sini takip eden karakteristik fonksiyon şöyledir:

takip etme

Bu özellik fonksiyonunun başka bir şekli de vardır, eğer

sonra

gama dağılımlarının toplamı | üstel dağılım gama toplamı

  Gama dağılımının toplamının sonucunu bilmek için öncelikle sürekli rastgele değişken için bağımsız rastgele değişkenin toplamını anlamamız gerekir, bunun için X ve Y sürekli rastgele değişkenleri için olasılık yoğunluk fonksiyonlarına ve ardından toplam için kümülatif dağılım fonksiyonuna sahip olalım. rastgele değişkenler olacak

X ve Y'nin olasılık yoğunluk fonksiyonları için bu integralin evrişimini farklılaştırmak, rastgele değişkenlerin toplamı için olasılık yoğunluk fonksiyonunu şu şekilde verecektir:

Şimdi, X ve Y'nin ilgili yoğunluk fonksiyonlarına sahip gama rasgele değişkenleri olup olmadığını ispatlayalım, o zaman aynı parametrelerin toplamı ile toplam da gama dağılımı olacaktır.

formun olasılık yoğunluk fonksiyonunu dikkate alarak

X rastgele değişkeni için alfayı s olarak alın ve rastgele değişken Y için alfayı t olarak alın, böylece elimizdeki rastgele değişkenlerin toplamı için olasılık yoğunluğunu kullanarak

burada C, a'dan bağımsızdır, şimdi değer

X ve Y toplamının olasılık yoğunluk fonksiyonunu temsil eden ve Gama dağılımına ait olan, dolayısıyla gama dağılımının toplamı ayrıca ilgili parametrelerin toplamına göre gama dağılımını temsil eder.

gama dağılım modu

    Gama dağılımının modunu bulmak için olasılık yoğunluk fonksiyonunu şu şekilde düşünelim:

şimdi bu pdf'yi x'e göre farklılaştırın, farklılaşmayı şu şekilde elde edeceğiz:

bu x=0 veya x=(α -1)/λ için sıfır olacaktır

yani bunlar sadece kritik noktalar ilk türevimizin sıfır olacağı, eğer alfa sıfırdan büyük veya sıfıra eşitse, x=0 mod olmayacak çünkü bu, pdf'yi sıfır yapar, yani mod (α -1)/λ olacaktır.

ve kesinlikle birden küçük alfa için, x sıfırdan sonsuza doğru arttıkça türev sonsuzdan sıfıra düşer, bu nedenle bu mümkün değildir, dolayısıyla gama dağılımının modu şöyledir:

gama dağılımının medyanı

Gama dağılımının medyanı, ters gama dağılımı yardımıyla şu şekilde bulunabilir:

or

sağlanan

hangi verir

gama dağılım şekli

     Şekil parametresi bir olduğunda gama dağılımı şekil parametresine bağlı olarak farklı şekil alır gama dağılımı üstel dağılıma eşittir ama şekil parametresini değiştirdiğimizde şekil parametresi arttıkça gama dağılımı eğrisinin eğriliği azalır, başka bir deyişle gama dağılımının eğrisinin şekli standart sapmaya göre değişir.

gama dağılımının çarpıklığı

    Herhangi bir dağılımın çarpıklığı, o dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu ve çarpıklık katsayısı gözlemlenerek gözlemlenebilir.

sahip olduğumuz gama dağılımı için

so

bu, eğriliğin alfaya bağlı olduğunu ancak alfanın sonsuza doğru artış eğrisinin daha simetrik ve keskin olacağını ve alfa sıfıra gittiğinde yoğunluk grafiklerinde görülebilen gama dağılım yoğunluk eğrisinin pozitif olarak çarpık olacağını gösterir.

genelleştirilmiş gama dağılımı | gama dağılımında şekil ve ölçek parametresi | üç parametreli gama dağılımı | çok değişkenli gama dağılımı

burada γ, μ ve β sırasıyla şekil, konum ve ölçek parametreleridir, bu parametrelere belirli değerler atayarak iki parametreli gama dağılımını elde edebiliriz özellikle eğer μ=0, β=1 koyarsak standart gama dağılımını şu şekilde elde ederiz:

Bu 3 parametreli gama dağılımı olasılık yoğunluk fonksiyonunu kullanarak, sırasıyla buradaki tanımı takip ederek beklenti ve varyansı bulabiliriz.

Sonuç:

Gama dağılımının karşılığı olan kavram ters gama dağılımı gama dağılımı ile karşılaştırma ve moment üretme fonksiyonu yardımıyla gama dağılımının merkezi eğilimlerinin ölçümü, bu makalenin odak noktasıydı, eğer daha fazla okumanız gerekiyorsa, önerilen kitaplara ve bağlantılara göz atın. Matematik hakkında daha fazla yazı için, ziyaret edin matematik sayfası.

https://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_distribution

Sheldon Ross tarafından olasılıkta ilk ders

Schaum'un Olasılık ve İstatistik Anahatları

ROHATGI ve SALEH tarafından olasılık ve istatistiklere giriş

doktor MUHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ben DR'yim. Muhammed Mazhar Ul Haque. Doktoramı tamamladım. Matematik alanında ve Matematik alanında yardımcı doçent olarak çalışmaktadır. 12 yıllık öğretmenlik tecrübesine sahip olmak. Saf Matematikte, tam olarak Cebirde engin bilgiye sahip olmak. Problem tasarlama ve çözme konusunda muazzam bir yeteneğe sahip olmak. Adayları performanslarını artırmaları için motive edebilir. Hem yeni başlayanlar hem de uzmanlar için Matematiği Basit, İlginç ve Kendini Açıklayıcı hale getirmek için Lambdageeks'e katkıda bulunmayı seviyorum. LinkedIn üzerinden bağlanalım - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Son Yazılar