Ortak Dağıtılmış Rastgele Değişkenler: 11 Önemli Gerçek


içerik

Ortak dağıtılmış rastgele değişkenler

     Ortak dağılmış rasgele değişkenler, bu rasgele değişkenler için olasılığı birlikte dağılmış birden fazla rasgele değişkendir, başka bir deyişle, ortak olasılıkları ile farklı sonucun ortak dağılmış rasgele değişken veya ortak dağılım olarak bilindiği deneylerde bu tür bir durum ortaya çıkar. sık sık şans sorunlarıyla uğraşırken.

Ortak dağıtım işlevi | Ortak Kümülatif olasılık dağılım fonksiyonu | ortak olasılık kütle fonksiyonu | ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

    X ve Y rasgele değişkenleri için dağılım fonksiyonu veya birleşik kümülatif dağılım fonksiyonu şudur:

Ortak olasılığın doğasının, ayrık veya sürekli X ve Y rasgele değişkenlerinin doğasına bağlı olduğu ve X ve Y için bireysel dağılım fonksiyonları, bu ortak kümülatif dağılım fonksiyonu kullanılarak elde edilebilir.

benzer şekilde Y için

X ve Y'nin bu bireysel dağılım işlevleri, ortak dağılım söz konusu olduğunda Marjinal dağılım işlevleri olarak bilinir. Bu dağılımlar, aşağıdaki gibi olasılıkları elde etmek için çok yararlıdır.

ve

ek olarak X ve Y rasgele değişkenleri için birleşik olasılık kütle fonksiyonu şu şekilde tanımlanır:

X ve Y için bireysel olasılık kütle veya yoğunluk fonksiyonları, aşağıdaki gibi ortak olasılık kütle veya yoğunluk fonksiyonunun yardımıyla elde edilebilir. ayrık rasgele değişkenler as

ve sürekli rasgele değişken açısından ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu olacaktır

burada C herhangi bir iki boyutlu düzlemdir ve sürekli rasgele değişken için ortak dağılım fonksiyonu olacaktır.

[lateks]F(a,b)=P\sol { X\in (-\infty,a], Y\in (-\infty,b] \sağ } \\ =\int_{-\infty}^{ b}\int_{-\infty}^{a} f(x,y)dxdy[/lateks]

Bu dağılım fonksiyonundan olasılık yoğunluk fonksiyonu türev alınarak elde edilebilir.

[lateks]f(a,b)=\frac{\partial^2 }{\partial a \partial b} F(a,b)[/lateks]

ve ortak olasılık yoğunluk fonksiyonundan marjinal olasılık

[lateks]P\sol { X\in A \sağ }=P\sol { X\in A,Y\in (-\infty,\infty) \sağ } \ =\int_{A}^{}\int_ {-\infty}^{\infty}f(x,y)dydx \ =\int_{A}^{}f_{X}(x)dx[/lateks]

as

[lateks]f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy[/lateks]

ve

[lateks]f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dx[/lateks]

sırasıyla X ve Y rasgele değişkenlerine göre

Ortak dağıtım örnekleri

  1. 3 matematik, 4 istatistik ve 5 fizik kitabı içeren bir kitap setinden 3 kitap rastgele alınırsa matematik ve istatistik kitaplarının sayısını temsil eden X ve Y rastgele değişkenleri için ortak olasılıklar

[lateks]p(0,0)=\binom{5}{3}/\binom{12}{3}=\frac{10}{220} \\ p(0,1)=\binom{4} {1} \binom{5}{2}/\binom{12}{3}=\frac{40}{220} \\ p(0,2)=\binom{4}{2} \binom{5 }{1}/\binom{12}{3}=\frac{30}{220} \\ p(0,3)=\binom{4}{3}/\binom{12}{3}=\ frac{4}{220} \\ p(1,0)=\binom{3}{1} \binom{5}{2}/\binom{12}{3}=\frac{30}{220} \\ p(1,1)=\binom{3}{1} \binom{4}{1} \binom{5}{1}/\binom{12}{3}=\frac{60}{220 } \\ p(1,2)=\binom{3}{1} \binom{4}{2}/\binom{12}{3}=\frac{18}{220} \\ p(2,0, 3)=\binom{2}{5} \binom{1}{12}/\binom{3}{15}=\frac{220}{2,1} \\ p(3)=\binom{2 }{4} \binom{1}{12}/\binom{3}{12}=\frac{220}{3,0} \\ p(3)=\binom{3}{12}/\binom {3}{1}=\frac{220}{XNUMX} \[/lateks]

  • eklemi bul olasılık kütle fonksiyonu %15 çocuğu olmayan, %20 1 çocuğu, %35 2 çocuğu ve %30 3 çocuğu olan aileler örneklemi için bu örneklemden rastgele seçtiğimiz aile çocuğu Erkek mi Kız mı?

Tanımı şu şekilde kullanarak bulacağımız ortak olasılık

Ortak dağıtılmış rastgele değişkenler
Ortak dağıtılmış rastgele değişkenler: Örnek

ve bunu aşağıdaki gibi tablo şeklinde gösterebiliriz

Ortak dağıtılmış rastgele değişkenler
Ortak dağıtılmış rastgele değişkenler : Ortak dağılım örneği
  • Olasılıkları hesaplayın

[lateks] (a) P\left { X> 1, Y> 1 \sağ } , \ \ (b) P\left { X< Y \sağ } ve \ \ (c) P\left { X< a \sağ }[/lateks]

X ve Y rasgele değişkenleri için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekilde verilirse

[lateks]f(x,y) = \begin{durumlar} 2e^{-x}y^{-2y} \ \ 0< x< \infty , \ \ 0< y< \infty \\ 0 &\text {aksi halde} \end{kasalar}[/lateks]

sürekli rastgele değişken için ortak olasılık tanımının yardımıyla

[lateks]=\int_{-\infty}^{b}\int_{-\infty}^{a}f(x,y)dxdy[/latex]

ve verilen eklem yoğunluğu fonksiyonu, verilen aralık için ilk olasılık olacaktır.

[lateks]P\sol { X> 1,Y< 1 \sağ }=\int_{0}^{1}\int_{1}^{\infty}2e^{-x} e^{-2y} dxdy [/lateks]

[lateks]=\int_{0}^{1}2e^{-2y} \left ( -e^{-x}\lvert_{1}^{\infty} \sağ )dy[/lateks]

[latex]=e^{-1}\int_{0}^{1}2e^{-2y}dy[/latex]

[lateks]=e^{-1}(1-e^{-2})[/lateks]

benzer şekilde olasılık

[lateks]P\sol { X< Y \sağ }=\int_{(x,y):}^{}\int_{x< y}^{}2e^{-2x}e^{-2y}dxdy [/lateks]

[latex]=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{y}2e^{-2x}e^{-2y}dxdy[/latex]

[lateks]=\int_{0}^{\infty}2e^{-2y}(1-e^{-y})dy[/lateks]

[latex]=\int_{0}^{\infty}2e^{-2y}dy – \int_{0}^{\infty}2e^{-3y}dy =1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}[/latex]

ve sonunda

P\left \{ X< bir \sağ \}=\int_{0}^{a}\int_{0}^{\infty}2e^{-2y}e^{-x}dydx

[lateks]=\int_{0}^{a}e^{-x}dx[/lateks]

[lateks]=1-e^{-a}[/lateks]

  • X ve Y rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu ise, X/Y bölümü için ortak yoğunluk fonksiyonunu bulun.

[lateks]f(x,y) = \begin{durumlar} e^{-(x+y)} \ \ 0< x< \infty , \ \ 0< y< \infty \\ \ 0 &\text{ aksi halde} \end{kasalar}[/lateks]

X/Y fonksiyonu için olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için önce ortak dağılım fonksiyonunu buluruz, sonra elde edilen sonucu türevlendiririz,

yani ortak dağılım fonksiyonunun tanımına ve verilen olasılık yoğunluk fonksiyonuna göre

[lateks]F_{X}/_{Y}(a)=P\left { \frac{X}{Y}\leq a \sağ }[/lateks]

[lateks]=\int_{\frac{X}{Y}\leq a}^{}\int e^{-(x+y)}dxdy[/lateks]

[lateks]=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{ay}e^{-(x+y)}dxdy[/latex]

[lateks]= \left { \int_{0}^{\infty}-e^{-y}dxdy +\frac{e^{-(a+1)y}}{a+1} \sağ }\ lvert_{0}^{\infty}[/lateks]

[lateks]=1-\frac{1}{a+1}[/lateks]

dolayısıyla bu dağılım fonksiyonunu a'ya göre farklılaştırarak yoğunluk fonksiyonunu şu şekilde elde ederiz.

[lateks]f_{\frac{X}{Y}}(a)=\frac{1}{(a+1)^{2}}[/lateks]

burada a sıfırdan sonsuza kadardır.

Bağımsız rastgele değişkenler ve ortak dağılım

     içinde ortak dağıtım iki rastgele değişken X ve Y için olasılığın bağımsız olduğu söylenir, eğer

[lateks]P\sol { X \in A, Y \in B\sağ } =P \left { X \in A \sağ } P\sol { Y \in B \sağ }[/lateks]

A ve B reel kümelerdir. Zaten olaylar açısından olduğu gibi, bağımsız rastgele değişkenlerin, olayları bağımsız olan rastgele değişkenler olduğunu biliyoruz.

Böylece a ve b'nin herhangi bir değeri için

[lateks]P\left { X\leq a, Y\leq b \sağ } =P\left {X\leq a \sağ }P\left {Y\leq b \sağ }[/lateks]

ve bağımsız rasgele değişkenler X ve Y için ortak dağılım veya kümülatif dağılım fonksiyonu olacaktır.

[lateks]F(a,b)=F_{X}(a)F_{Y}(b) \ \ for \ \ all \ \ a,b[/lateks]

X ve Y ayrık rasgele değişkenlerini göz önüne alırsak, o zaman

[lateks]p(x,y)=p_{X}(x)p_{Y}(y) \ \ for \ \ all \ \ x,y[/lateks]

beri

[lateks]P\sol { X\in A, Y\in B \sağ } =\sum_{y\inB}^{}\sum_{x \in A}^{}p(x,y)[/ lateks]

[lateks]=\sum_{y\in B}^{}\sum_{x \in A}^{}p_{X}(x)p_{Y}(y)[/lateks]

[lateks]=\sum_{y\in B}p_{Y}(y) \sum_{x\in A}p_{X}(x)[/lateks]

[lateks]= P\sol { Y \in B \sağ } P\sol { X \in A \sağ }[/lateks]

benzer şekilde sürekli rastgele değişken için de

[lateks]f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y) \ \ for \ \ all \ \ x,y[/lateks]

Bağımsız ortak dağıtım örneği

  1. Bir hastanede belirli bir gün için girilen hastalar λ parametresi ile poisson dağılımı ve erkek hasta olasılığı p ve kadın hasta olasılığı (1-p) ise, hastaneye giren erkek hasta ve kadın hasta sayısının olduğunu gösteriniz. λp ve λ(1-p) parametreleriyle bağımsız poisson rastgele değişkenleri midir?

erkek ve kadın hasta sayısını X ve Y rasgele değişkenine göre düşünün, ardından

[lateks]P\sol { X=i, Y=j \sağ }= P\sol { X=i, Y=j|X +Y=i+j \sağ }P\sol { X+Y=i+ j \sağ }+P\sol { X=i,Y=j|X +Y\neq i+j \sağ }P\left { X+Y\neq i+j \sağ }[/lateks]

[lateks]P\sol { X=i, Y=j \sağ }= P\sol { X=i, Y=j|X +Y=i+j \sağ }P\sol { X+Y=i+ j \sağ }[/lateks]

X+Y, poisson dağıtılmış hastaneye giren toplam hasta sayısı olduğundan,

[lateks]P\sol { X+Y=i+j \sağ }=e^{-\lambda }\frac{\lambda ^{i+j}}{(i+j)!}[/lateks]

erkek hastanın olasılığı p ve kadın hastanın (1-p) olduğu için toplam sabit sayısından tam olarak erkek veya kadın olduğu için binom olasılığını şu şekilde gösterir:

[lateks]P\sol { X=i, Y=j|X + Y=i+j \sağ }=\binom{i+j}{i}p^{i}(1-p)^{j} [/lateks]

bu iki değeri kullanarak yukarıdaki ortak olasılığı şu şekilde elde ederiz:

[lateks]P\sol { X=i, Y=j \sağ }=\binom{i+j}{i}p^{i}(1-p)^{j}e^{-\lambda} \ frac{\lambda ^{i+j}}{(i+j)!}[/lateks]

[lateks]=e^{-\lambda} \frac{\lambda p^i}{i! j!}\sol [ \lambda (1-p) \sağ ]^{j}[/lateks]

[lateks]=e^{-\lambda p} \frac{(\lambda p)^i}{i!} e^{-\lambda (1-p)} \frac{\left [ \lambda (1- p) \sağ ]^{j}}{j!}[/lateks]

böylece erkek ve kadın hastaların olasılığı

[lateks]P\sol { X=i \sağ } =e^{-\lambda p} \frac{(\lambda p)^i}{i!} \sum_{j} e^{-\lambda (1 -p)} \frac{\sol [ \lambda (1-p) \sağ ]^{j}}{j!} = e^{-\lambda p} \frac{(\lambda p)^i}{ ben!}[/lateks]

ve

[lateks]P\sol { Y=j \sağ } =e^{-\lambda (1-p)} \frac{\sol [ \lambda (1-p) \sağ ]^{j}}{j! }[/lateks]

her ikisinin de λp ve λ(1-p) parametreleriyle poisson rastgele değişkenleri olduğunu gösterir.

2. Bir kişinin, her bir müşteri ve o kişinin tek tip dağıtımdan sonra öğlen 12 ile 1 arasında varıyormuş gibi bir müşteri için toplantıda on dakikadan fazla beklemesi olasılığını bulun.

o kişi ve müşteri için 12 ile 1 arasındaki zamanı belirtmek için X ve Y rasgele değişkenlerini düşünün, böylece X ve Y için ortak olasılık

[lateks] 2P \left { X+10 < Y \sağ } =2 \int_{X+10 < Y} \int f(x,y)dxdy[/lateks]

[lateks]=2 \int_{X+10 < Y} \int f_{X}(x) f_{Y}(y)dxdy[/lateks]

[latex]=2 \int_{10}^{60} \int_{0}^{y-10} \left (\frac{1}{60}\right )^{2} dxdy[/latex]

[latex]=\frac{2}{(60)^{2}}\int_{10}^{60} (y-10)dy[/latex]

[lateks]=\frac{25}{36}[/lateks]

hesaplamak

[lateks]P\sol { X\geq YZ \sağ }[/lateks]

burada X,Y ve Z (0,1) aralığı boyunca tek tip rastgele değişkendir.

burada olasılık olacak

[lateks]P\left { X\geq YZ \sağ } = \int \int_{x\geq yz}\int f_{X,Y,Z} (x,y,z) dxdydz[/lateks]

düzgün dağılım için yoğunluk fonksiyonu

[lateks]f_{X,Y,Z} (x,y,z) =f_{X} (x) f_{Y}(y) f_{Z}(z) =1 , \ \ 0\leq x\ leq 1 , \ \ 0\leq y\leq 1 , \ \ 0\leq z\leq 1[/lateks]

verilen aralık için yani

[latex]=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{yz}^{1} dxdydz[/latex]

[latex]=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} (1-yz) dydz[/latex]

[lateks]=\int_{0}^{1}\left ( 1-\frac{z}{2} \right ) dydz[/latex]

[lateks]=\frac{3}{4}[/lateks]

ORTAK DAĞILIMA GÖRE BAĞIMSIZ RASTGELE DEĞİŞKENLERİN TOPLAMLARI

  Sürekli rastgele değişkenler olarak olasılık yoğunluk fonksiyonları ile bağımsız değişkenler X ve Y'nin toplamı, kümülatif dağılım fonksiyonu olacaktır.

[lateks]F_{X+Y} (a)= P\left \{ X+Y\leq a \left. \sağ \} \sağ.[/lateks]

[lateks]= \int_{x+y\leq a}\int f_{X} (x)f_{Y}(y)dxdy[/lateks]

[lateks]= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{ay} f_{X}(x)f_{Y}(y)dxdy[/lateks]

[lateks]= \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{ay} f_{X}(x) dx f_{Y}(y)dy[/lateks]

[lateks]= \int_{-\infty}^{\infty} F_{X} (ay) f_{Y}(y)dy[/lateks]

bu bağımsız toplamların olasılık yoğunluk fonksiyonu için bu kümülatif dağılım fonksiyonunun türevini alarak,

[lateks]f_{X+Y} (a)=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} a}\int_{-\infty}^{\infty} F_{X} (ay)f_ {Y} (y)dy[/lateks]

[lateks]f_{X+Y} (a)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} a} F_{X} (ay)f_ {Y} (y)dy[/lateks]

[lateks]=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X} (ay)f_{Y} (y)dy[/lateks]

bu iki sonucu takip ederek bazı sürekli rastgele değişkenleri ve bunların toplamını bağımsız değişkenler olarak göreceğiz.

bağımsız tek tip rastgele değişkenlerin toplamı

   için rastgele değişkenler X ve Y (0,1) aralığı üzerinde düzgün bir şekilde dağılmış, bu bağımsız değişkenlerin her ikisi için olasılık yoğunluk fonksiyonu şudur:

[lateks]f_{X}(a)=f_{Y}(a) = \begin{durumlar} 1 & \ 0< a< 1 \\ \ \ 0 & \text{ aksi halde } \end{durumlar}[/ lateks]

yani elimizdeki X+Y toplamı için

[lateks]f_{X+Y}(a) = \int_{0}^{1}f_{X}(ay)dy[/lateks]

herhangi bir değer için a sıfır ile bir arasındadır

[lateks]f_{X+Y}(a)= \int_{0}^{a}dy =a[/lateks]

a'yı bir ile iki arasında kısıtlarsak,

[lateks]f_{X+Y}(a)= \int_{a-1}^{a}dy =2-a[/lateks]

bu üçgen şekil yoğunluk fonksiyonunu verir

[latex]f_{X+Y}(a) = \begin{cases} \ a & 0\leq a \leq 1 \\ \ 2-a & \ 1< a< 2 \\ \ 0 & \text{ aksi halde } \end{kasalar}[/lateks]

1'den n'ye kadar n bağımsız tek tip rasgele değişken için genelleştirirsek, bunların dağılım fonksiyonu

[lateks]F_{n}(x)=P\sol ( X_{1} + ……+ X_{n} \leq x \sağ )[/lateks]

matematiksel tümevarım ile olacak

[lateks]F_{n}(x)=\frac{x^{n}}{n!} , 0\leq x\leq 1[/lateks]

bağımsız Gama rastgele değişkenlerinin toplamı

    Her zamanki yoğunluk fonksiyonlarına sahip iki bağımsız gama rastgele değişkenimiz varsa

[lateks]f(y)= \frac{\lambda e^{-\lambda y}(\lambda y)^{t-1}}{\Gamma (t)} \ \ , 0< y< \infty[ /lateks]

ardından bağımsız gama rastgele değişkenlerinin toplamı için yoğunluğu takip ederek

[lateks]f_{X+Y}(a)=\frac{1}{\Gamma (lar)\Gamma (t)}\int_{0}^{a}\lambda e^{-\lambda (ay) }\left [ \lambda (ay) \sağ ]^{s-1}\lambda e^{-\lambda y} (\lambda y)^{t-1}dy[/latex]

[lateks]=K e^{-\lambda a} \int_{0}^{a}\left [ (ay) \sağ ]^{s-1}(y)^{t-1}dy[/latex ]

[lateks]=K e^{-\lambda a} a^{s+t-1} \int_{0}^{1} (1-x)^{s-1}x^{t-1} dx \ \ by \ \ izin \ \ x=\frac{y}{a}[/lateks]

[lateks]=C e^{-\lambda a} a^{s+t-1}[/lateks]

[lateks]f_{X+Y}(a)=\frac{\lambda e^{-\lambda a} (\lambda a)^{s+t-1}}{\Gamma (s+t)}[ /lateks]

bu, bağımsız olan gama rastgele değişkenlerinin toplamı için yoğunluk fonksiyonunu gösterir.

bağımsız üstel rastgele değişkenlerin toplamı

    Gama rasgele değişkenine benzer şekilde, bağımsız üstel rasgele değişkenlerin toplamına benzer şekilde, sadece özel olarak gama rasgele değişkenlerinin değerlerini atayarak yoğunluk fonksiyonunu ve dağılım fonksiyonunu elde edebiliriz.

Bağımsız normal rastgele değişkenin toplamı | bağımsız Normal dağılımın toplamı

                Eğer n sayıda bağımsız normal rastgele değişkenimiz varsa Xi , i=1,2,3,4….n ilgili ortalamalar μi ve varyanslar σ2i sonra toplamları ortalama Σμi ve varyanslar Σσ2i olan normal rastgele değişkendir.

    İlk önce, 0 ve σ parametreleriyle iki normal rastgele değişken X için normal olarak dağıtılan bağımsız toplamı gösteriyoruz.2 ve Y, 0 ve 1 parametreleriyle birlikte, X+Y toplamı için olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulalım.

[lateks]c=\frac{1}{2\sigma ^{2}} +\frac{1}{2} =\frac{1+\sigma ^{2}}{2\sigma ^{2}} [/lateks]

ortak dağılım yoğunluk fonksiyonunda

[lateks]f_{X+Y}(a)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X}(ay)f_{Y}(y)dy[/lateks]

normal dağılımın yoğunluk fonksiyonunun tanımı yardımıyla

[lateks] f_{X}(ay)f_{Y}(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma } exp\left { -\frac{(ay)^{2}} {2\sigma ^{2}} \sağ }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}exp\left { -\frac{y^{2}}{2} \sağ } [/lateks]

[lateks]=\frac{1}{2\pi \sigma } exp \left { -\frac{a^{2}}{2\sigma ^{2}} \right } exp \left { -c\left ( y^{2} -2y\frac{a}{1+\sigma ^{2}}\sağ ) \sağ }[/lateks]

böylece yoğunluk fonksiyonu

[lateks]f_{X+Y}(a)=\frac{1}{2\pi \sigma }exp \left { -\frac{a^{2}}{2\sigma ^{2}} \right } exp \left { \frac{a^{2}}{2\sigma ^{2}(1+\sigma ^{2})} \right } X \int_{-\infty}^{\infty} exp \left { -c\left ( y-\frac{a}{1+\sigma ^{2}} \sağ )^{2} \right } dy[/lateks]

[lateks]=\frac{1}{2\pi \sigma } exp \left { – \frac{a^{2}}{2(1+\sigma ^{2})} \right } \int_{- \infty}^{\infty} exp \left { -cx^{2} \right } dx[/lateks]

[lateks]=C exp \left { -\frac{a^{2}}{2(1+\sigma ^{2})} \right }[/lateks]

bu, bir a'nın yoğunluk fonksiyonundan başka bir şey değildir. normal dağılım aynı argümanı takip eden ortalama 0 ve varyans (1+σ2) ile söyleyebiliriz

[lateks]X_{1} + X_{2}=\sigma {2}\sol ( \frac{X{1}-\mu {1}}{\sigma {2}}+\frac{X_{2}-\mu {2}}{\sigma {2}} \sağ ) +\mu {1} +\mu {2}[/lateks]

normal ortalama ve varyanslarla. Genişletmeyi alır ve toplamın, ilgili ortalamaların toplamı olarak ortalama ile ve ilgili varyansların toplamı olarak varyansın normal olarak dağıldığını gözlemlersek,

böylece aynı şekilde n'inci toplam, ortalama Σμ olan normal olarak dağıtılan rastgele değişken olacaktır.i  ve varyanslar Σσ2i

Bağımsız Poisson rastgele değişkenlerin toplamları

λ parametreleriyle iki bağımsız Poisson rastgele değişkenimiz X ve Y varsa1 ve λ2 o zaman toplamları X+Y aynı zamanda Poisson rasgele değişkeni veya Poisson dağılımıdır

X ve Y Poisson dağıtıldığından ve toplamlarını ayrık olayların birleşimi olarak yazabiliriz.

[lateks]P \sol { X+Y =n \sağ } =\sum_{k=0}^{n}P\sol { X=k, Y=nk \sağ }[/lateks]

[lateks]=\sum_{k=0}^{n}P\sol { X=k \sağ},P\sol { Y=nk \sağ }[/lateks]

[lateks]=\sum_{k=0}^{n}e^{-\lambda {1}} \frac{\lambda {1}^{k}}{k!}e^{-\lambda {2}}\frac{\lambda {2}^{nk}}{(nk)!}[/lateks]

bağımsız rastgele değişkenlerin olasılığını kullanarak

[lateks]=e^{-(\lambda {1}+\lambda {2})} \sum_{k=0}^{n} \frac{\lambda {1}^{k}\lambda {2}^{nk}}{k!(nk)!}[/lateks]

[lateks]=\frac{e^{-(\lambda {1}+\lambda {2})}}{n!}\sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!(nk)!} \lambda {1}^{k}\lambda {2}^{nk}[/lateks]

[lateks]=\frac{e^{-(\lambda {1}+\lambda {2})}}{n!} (\lambda {1}+\lambda {2})^{n}[/lateks]

böylece X+Y toplamını elde ederiz, ayrıca ortalama λ ile dağıtılan Poisson'dur1 + λ2

Bağımsız binom rastgele değişkenlerin toplamları

                (n,p) ve (m, p) parametrelerine sahip iki bağımsız X ve Y iki terimli rastgele değişkenimiz varsa, bunların toplamları da X+Y iki terimli rastgele değişken veya (n+m, p) parametresiyle dağıtılmış Binomdur.

binom tanımıyla toplamın olasılığını şu şekilde kullanalım:

[lateks]P\sol { X+Y= k \sağ } =\toplam_{i=0}^{n}P\sol { X=i, Y=ki \sağ }[/lateks]

[lateks]=\sum_{i=0}^{n}P\sol { X=i \sağ } P\sol { Y=ki \sağ }[/lateks]

[lateks]=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}p^{i}q^{ni}\binom{m}{ki}p^{ki}q^{m -k+i}[/lateks]

[lateks]nerede \ \ q=1-p \ \ ve \ \ nerede \ \ \binom{r}{j}=0 \ \ ne zaman \ \ j< 0[/lateks]

[lateks]\binom{m+n}{k}=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\binom{m}{ki}[/latex]

hangi verir

[lateks]P\sol { X+Y=k \sağ }=p^{k}q^{n+mk}\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\binom{ m}{ki}[/lateks]

dolayısıyla X+Y toplamı da (n+m, p) parametresiyle iki terimli olarak dağıtılır.

Sonuç:

Bir durumda birden fazla değişken için karşılaştırmalı olarak dağılım veren ortak dağılmış rasgele değişkenler kavramı ayrıca ortak dağılım yardımı ile bağımsız rasgele değişken temel kavramı tartışılmış ve bazı dağılım örnekleri ile bağımsız değişkenlerin toplamı verilmiştir. parametreleri, eğer daha fazla okumanız gerekiyorsa, bahsedilen kitapları gözden geçirin. Matematikle ilgili daha fazla yazı için lütfen buraya tıklayın.

https://en.wikipedia.org

Sheldon Ross tarafından olasılıkta ilk ders

Schaum'un Olasılık ve İstatistik Anahatları

ROHATGI ve SALEH tarafından olasılık ve istatistiklere giriş

doktor MUHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ben DR'yim. Muhammed Mazhar Ul Haque. Doktoramı tamamladım. Matematik alanında ve Matematik alanında yardımcı doçent olarak çalışmaktadır. 12 yıllık öğretmenlik tecrübesine sahip olmak. Saf Matematikte, tam olarak Cebirde engin bilgiye sahip olmak. Problem tasarlama ve çözme konusunda muazzam bir yeteneğe sahip olmak. Adayları performanslarını artırmaları için motive edebilir. Hem yeni başlayanlar hem de uzmanlar için Matematiği Basit, İlginç ve Kendini Açıklayıcı hale getirmek için Lambdageeks'e katkıda bulunmayı seviyorum. LinkedIn üzerinden bağlanalım - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Son Yazılar