2D Koordinat Geometrisi: 11 Önemli Gerçek


2B Koordinat Geometrisinde Locus

Lokus Latince bir kelimedir. 'Yer' veya 'Konum' kelimesinden türetilmiştir. Locus kelimesinin çoğulu Loci'dir.

Locus'un Tanımı:

Geometride, 'Yer', bir şekil veya şeklin bir veya daha fazla belirli koşulunu karşılayan bir noktalar kümesidir. Modern matematikte, verilen geometrik koşulları sağlayan bir noktanın düzlem üzerinde hareket ettiği yere veya yola noktanın yeri denir.

Yer, Geometri'de içlerinde köşe veya açılar bulunan şekiller dışındaki doğru, doğru parçası ve düzenli veya düzensiz eğri şekiller için tanımlanır. https://en.wikipedia.org/wiki/Coordinate_system

Locus ile ilgili örnekler:

çizgiler, çemberler, elips, parabol, hiperbol vb. tüm bu geometrik şekiller noktaların yeri ile tanımlanır.

Locus Denklemi:

Locus üzerindeki tüm noktaların koordinatları tarafından sağlanan geometrik özelliklerin veya koşulların cebirsel formu, bu noktaların yerlerinin denklemi olarak bilinir.

Lokus Denklemini Elde Etme Yöntemi:

Bir düzlemde hareket eden bir noktanın geometrik yerinin denklemini bulmak için aşağıda açıklanan işlemi takip edin.

(i) İlk olarak, bir düzlemde hareket eden bir noktanın koordinatlarının (h,k) olduğunu varsayalım.

(ii) İkinci olarak, verilen geometrik koşullar veya özelliklerden h ve k ile bir cebirsel denklem türetiniz.

(iii) Üçüncü olarak, yukarıdaki denklemde h ve k'yi sırasıyla x ve y ile değiştirin. Şimdi bu denkleme düzlemdeki hareket eden noktanın konumunun denklemi denir. (x,y) hareket eden noktanın mevcut koordinatlarıdır ve yerin denklemi her zaman x ve y şeklinde türetilmelidir, yani mevcut koordinatlar.

İşte lokus hakkındaki anlayışı netleştirmek için bazı örnekler.

Locus'ta 4+ farklı çözülmüş problem türü:

1 sorun: If P XY düzleminde verilen iki noktadan eşit uzaklıkta olan herhangi bir nokta olsun bir(3,2) ve B(2,-1) aynı düzlemde, sonra P noktasının geometrik yerinin konumunu ve denklemini grafikle bulun.

Çözüm: 

gezenek
Grafiksel gösterim

Lokus üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarının P XY düzleminde (h, k).

P, A ve B'den eşit uzaklıkta olduğundan, yazabiliriz

P'nin A'ya uzaklığı=P'nin B'ye uzaklığı

Veya, [lateks]\sol| PA \sağ|[/lateks]=[lateks]\sol| PB \sağ|[/lateks]

[lateks]{\sol | \sqrt{(h-3)^{2}+(k-2)^{2}} \sağ |}={\sol | \sqrt{(h-2)^{2}+(k+1)^{2}} \sağ |[/lateks]

[lateks]{\sol | \sqrt{(h^{2}-6h+9+k^{2}-4k+4)} \right |} = {\sol | \sqrt{(h^{2}-4h+4+k^{2}+2k+1} \right |}[/lateks]

Veya, (h2 -6s+9+k2 -4k+4) = (sa2 -4s+4+k2 +2k+1)——– her iki tarafa kare alarak.

veya, h2 -6s+13+k2 -4k -s2+4s-5-k2 -2k = 0

Veya, -2h -6k+8 = 0

Veya, h+3k -4 = 0

Veya, h+3k = 4 ——– (1)

Bu, h ve k'nin birinci dereceden bir denklemidir.

Şimdi, h ve k'nin yerine x ve y konulursa, o zaman denklem (1), x ve y'nin x + 3y = 4 biçiminde birinci derece denklemi olur ve bu düz bir çizgiyi temsil eder.

Bu nedenle, XY-düzleminde P(h, k) noktasının konumu düz bir çizgidir ve yerin denklemi x + 3y = 4'tür. (Cevap.)


2 sorun: Eğer bir nokta R XY düzleminde öyle hareket eder ki RA : RB = 3:2 noktaların koordinatları nerede A ve B vardır (-5,3) ve (2,4) sırasıyla aynı düzlemde olduğuna göre, R noktasının yerini bulunuz.

R'nin lokusunun denklemi ne tür bir eğriyi gösterir?

Çözüm: Verilen noktanın geometrik yeri üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatlarının R XY düzleminde olmak (m, n).

Asper verilen koşul RA : RB = 3:2,

sahibiz,

(R'nin A'dan uzaklığı) / (R'nin B'den uzaklığı) = 3/2

[lateks]\frac{\sol | \sqrt{(m+5)^{2}+(n-3)^{2}} \sağ |}{\sol | \sqrt{(m-2)^{2}+(n-4)^{2}} \sağ |}[/lateks]=3/2

[lateks]\frac{\sol | \sqrt{(m^{2}+10m+25+n^{2}-6n+9)} \right |}{\left | \sqrt{(m^{2}-4m+4+n^{2}-8n+16} \right |}[/lateks] = 3/2

Veya, (m2 +10m+34+n2 -6n) / (m2 -4 milyon+n2 -8n+20) =9/4 ———– her iki tarafa kare alarak.

Veya, 4(m2 +10m+34+n2 -6n) = 9(m2 -4 milyon+n2 -8n+20)

Veya, 4m2 +40m+136+4n2 -24n = 9m2 -36m+9n2 -72n+180)

Veya, 4m2 +40m+136+4n2 -24n – 9m2 +36m-9n2 +72n-180 = 0

Veya, -5m2 +76m-5n2+48n-44 = 0

Veya, 5(m2+n2)-76m+48n+44 = 0 ———-(1)

Bu, m ve n'nin ikinci dereceden bir denklemidir.

Şimdi m ve n, x ve y ile değiştirilirse, denklem (1), x ve y'nin 5(x) şeklinde ikinci derece denklemi olur.2+y2)-76x+48y+44 = 0 burada x'in katsayıları2 ve y2 aynıdır ve xy katsayısı sıfırdır. Bu denklem bir daireyi temsil eder.

Bu nedenle, XY düzleminde R(m, n) noktasının geometrik yeri bir dairedir ve yerin denklemi

5(x2+y2)-76x+48y+44 = 0 (Cevap.)


3 sorun: Tüm [latex]\theta [/lateks] değerleri için (a Cos[latex]\theta [/latex] , b Sin[latex]\theta [/latex]) XY üzerinde hareket eden bir P noktasının koordinatlarıdır. uçak. P'nin geometrik yerinin denklemini bulun.

Çözüm: (h, k) XY düzleminde P'nin yörüngesi üzerinde bulunan herhangi bir noktanın koordinatları olsun.

O zaman soruyu sor, söyleyebiliriz

h= a Cos[lateks]\theta [/lateks]

Veya, h/a = Cos[lateks]\theta [/lateks] —————(1)

Ve k = b Sin[lateks]\theta [/lateks]

Veya, k/b = Sin[lateks]\theta [/lateks] —————(2)

Şimdi hem (1) hem de (2) denklemlerinin karesini alıp toplayarak denklemi elde ederiz.

h2/a2 +k2/b2 =Çünkü2[lateks]\theta [/lateks] + Günah2[lateks]\teta [/lateks]

veya, h2/a2 +k2/b2 = 1 (Çünkü Cos2[lateks]\theta [/lateks] + Günah2[latex]\theta [/latex] =1 trigonometride)

Bu nedenle, P noktasının geometrik yeri denklemi x'tir.2/a2 + y2/b2 = 1. (Cevap.)


Sorun 4: Q'nun koordinatları ise, XY düzleminde hareket eden bir Q noktasının geometrik yer denklemini bulun.

( [latex]\frac{7u-2}{3u+2}[/latex] , [lateks]\frac{4u+5}{u-1}[/latex] ) burada u değişken parametresidir.

Çözüm : XY düzleminde hareket ederken verilen Q noktasının konumu üzerindeki herhangi bir noktanın koordinatları (h, k) olsun.

Ardından, h = [lateks]\frac{7u-2}{3u+2}[/lateks] ve k = [lateks]\frac{4u+5}{u-1}[/lateks]

yani h(3u+2) = 7u-2 ve k(u-1) = 4u+5

yani (3h-7)u = -2h-2 ve (k-4)u = 5+k

yani u = [lateks]\frac{-2h-2}{3h-7}[/lateks] —————(1)

ve u = [lateks]\frac{5+k}{k-4}[/lateks] —————(2)

Şimdi (1) ve (2) denklemlerini eşitleyerek, [lateks]\frac{-2h-2}{3h-7}[/latex] = [lateks]\frac{5+k}{k-4'ü elde ederiz. }[/lateks]

Veya, (-2h-2)(k-4) = (3h-7)(5+k)

Veya, -2sa+8sa-2k+8 = 15sa+3sa-35-7k

Veya, -2hk+8h-2k-15h-3hk+7k = -35-8

Veya, -5hk-7h+5k = -43

Veya, 5sk+7s-5k = 43

Bu nedenle Q'nun geometrik yeri denklemi 5xy+7x-5y = 43'tür.


Kendi başınıza uygulama için cevaplarla Locus hakkında daha fazla örnek:

Sorunlar 5: Eğer [latex]\theta [/lateks] bir değişken ve u bir sabit ise, o zaman iki düz çizginin kesişme noktasının yer denklemini bulun x Cos[latex]\theta [/latex] + y Sin[ lateks]\teta [/lateks] = u ve x Sin[lateks]\teta [/lateks] – y Cos[lateks]\theta [/lateks] = u . ( Cv. x2+y2 =2u2 )

Sorunlar 6: Eksenler arasındaki x Sin[latex]\theta [/lateks] + y Cos[latex]\theta [/lateks] = t doğru parçasının orta noktasının geometrik yerinin denklemini bulun. ( Cv. 1/x2+ 1 /y2 =4/t2 )

Sorunlar 7: Eğer bir P noktası XY düzleminde öyle hareket ediyorsa, üçgenin alanı iki nokta (2,-1) ve (3,4) ile yapılır. ( Cvp. 5x-y=11)


“Bir Üçgenin Merkez Noktası” Formüllerine İlişkin Temel Örnekler  2B Koordinat Geometrisinde

Merkez: Bir üçgenin üç medyanı her zaman üçgenin iç alanında bulunan bir noktada kesişir ve medyanı herhangi bir tepe noktasından karşı tarafın orta noktasına 2:1 oranında böler. Bu noktaya üçgenin ağırlık merkezi denir.   

Problem 1: Köşeleri (-1,0), (0,4) ve (5,0) olan üçgenin ağırlık merkezini bulun.

Çözüm:  Bunu zaten biliyoruz,

                                             If  bir(x1,y1) B(x2,y2) ve C(x3,y3) bir Üçgenin köşeleri olmak ve G(x, y) merkez olmak üçgenin, ardından Koordinatları G vardır

[lateks]\textbf{}x= \frac{\left ( x_{1}+x_{2}+x_{3} \sağ )}{3}[/lateks]

ve

[lateks]\textbf{}x= \frac{\left ( y_{1}+y_{2}+y_{3} \sağ )}{3}[/lateks]

Elimizdeki bu formülü kullanarak, 

(x1,y1) ≌(-1,0) yani x1= -1, y1=0;

(x2,y2) ≌(0,4) yani   x2= 0, y2=4 ve

(x3,y3) ≌(5,0) yani   x3= 5, y3=0

(Formül tablosuna bakın)

Grafik Gösterim

Böylece, G ağırlık merkezinin x-koordinatı,   [lateks]\textbf{}x= \frac{\left ( x_{1}+x_{2}+x_{3} \sağ )}{3}[/lateks]

yani [lateks]\textbf{}x= \frac{\left ( -1+0+5 \sağ )}{3}[/lateks]

yani [lateks]\textbf{}x= \frac{\left 4 \right }{3}[/lateks]

                  ve 

G ağırlık merkezinin y koordinatı,  [lateks]\textbf{}y= \frac{\left ( y_{1}+y_{2}+y_{3} \sağ )}{3}[/lateks]

yani [lateks]\textbf{}y= \frac{\left ( 0+4+0 \sağ )}{3}[/lateks]

yani [lateks]\textbf{}y= \frac{\left 4 \right }{3}[/lateks]

Bu nedenle, verilen üçgenin ağırlık merkezinin koordinatları ( [lateks]\frac{\left 4 \right }{3}[/lateks] , [lateks]\frac{\left 4 \right }{3}[/lateks] ) . (Cevap)

Yukarıdaki problem 1'de açıklanan prosedürü kullanarak daha fazla uygulama için aşağıda daha fazla cevaplanmış problem verilmiştir: -

Sorunlar 2: Köşeleri (-3,-1), (-1,3)) ve (1,1) noktalarında olan üçgenin ağırlık merkezinin koordinatlarını bulun.

Ans. (-1,1)

Sorunlar 3: Köşeleri (5,2), (10,4) ve (6,-1) olan üçgenin ağırlık merkezinin x koordinatı nedir?

Ans.

Sorunlar 4: Bir üçgenin üç köşesi (5,9), (2,15) ve (11,12)'dir. Bu üçgenin ağırlık merkezini bulun.

Ans. (6,12)


Menşe Kayması / Eksenlerin Tercümesi - 2D Koordinat Geometrisi

Orijini Kaydırmak, orijini eksenlerin yönünü değiştirmeden yeni bir noktaya kaydırmak anlamına gelir, yani yeni eksenler aynı düzlemde orijinal eksenlere paralel kalır. Eksenlerin bu ötelenmesi veya orijinin kaydırılması işlemi ile bir geometrik şeklin cebirsel denklemindeki birçok problem basitleştirilir ve kolayca çözülür.

"Orijin Kayması" veya "Eksenlerin Tercümesi" formülü aşağıda grafiksel olarak anlatılmıştır.

formül:

O orijin ise, P(x,y) XY düzleminde herhangi bir nokta olabilir ve O, P noktasının koordinatlarının (x) olacağı başka bir O′(a,b) noktasına kaydırılır.1,y1) yeni eksenler X ile aynı düzlemde1Y1  , O halde P'nin Yeni Koordinatları

x1 = x-a

y1 = y-b

Açıklama için grafik gösterimi: Grafikleri takip edin

Birkaç çözüldü 'Menşe Kayması' formülündeki sorunlar:

Problem-1 : Aynı düzlemde (3,1) ve (5,4) iki nokta varsa ve orijin, yeni eksenleri orijinal eksenlere paralel tutarak (3,1) noktasına kaydırılırsa, koordinatlarını bulunuz. (5,4) noktası, yeni orijin ve eksenlere göre.

Çözüm: Yukarıda açıklanan 'Kökenin Kayması' formülüyle karşılaştırıldığında, elimizde yeni Köken, O'(a, b) ≌ (3,1) var, yani a=3 , b=1 ve gerekli P, (x, y) noktası ≌ (5,4) yani x=5 , y=4

Şimdi eğer (x1,y1) noktasının yeni koordinatları olsun P(5,4) , sonra asper formül x1 = xa ve y1 =yb,

alıyoruz, x1 = 5-3 ve y1 = 4-1

yani x1 = 2 ve y1 =3

Bu nedenle, (5,4) noktasının gerekli yeni koordinatları (2,3) 'dir. (Cevap.)

Problem-2 : Orijini aynı düzlemde bir noktaya kaydırdıktan sonra eksenler birbirine paralel kalarak bir noktanın (5,-4) koordinatları (4,-5) olur. Yeni Orijinin Koordinatlarını bulunuz.

Çözüm: Burada 'Orijini Kaydırmak' veya 'Eksenlerin Tercümesi' formülünü kullanarak, P noktasının eski ve yeni Orijine göre koordinatlarını ve eksenleri sırasıyla (x, y) ≌ (5,-4) yani x=5 , y= -4 ve (x1,y1) ≌ (4,-5) yani  x1= 4, y1= -5

Şimdi yeni Origin'in koordinatlarını bulmalıyız. O'(a, b) yani a=?, b=?

asper formülü,

x1 = x- a

y1 = y- b

yani a=xx1 ve b=yy1

altın, a=5-4 ve b= -4-(-5)

altın, a=1 ve b= -4+5

altın, a=1 ve b= 1

Bu nedenle, O'(1,1) yeni Orijin olsun, yani yeni Orijin koordinatları (1,1)'dir. (Cevap.)

2B Koordinat Geometrisinde “Noktaların (üç nokta) birlikteliği” Formüllerine İlişkin Temel Örnekler

Sorunlar 1:  (1,0), (0,0) ve (-1,0) noktalarının doğrusal olup olmadığını kontrol edin.

Çözüm:  Bunu zaten biliyoruz,

                                            If  bir(x1,y1) B(x2,y2) ve C(x3,y3) herhangi üç eşdoğrusal nokta olsun, o zaman bunların oluşturduğu üçgenin alanı sıfır olmalıdır, yani üçgenin alanı ½[x1 (y2- y3) + x2 (y3- y1) + x3 (y1-y2)] =0

(Formül tablosuna bakın)

Elimizdeki bu formülü kullanarak,

(x1,y1) ≌(-1,0) yani   x1= -1, y1= 0 ;

(x2,y2) ≌(0,0) yani   x2= 0, y2= 0;

(x3,y3) ≌(1,0) yani    x3= 1, y3= 0

Grafik Gösterim

O halde üçgenin alanı = |½[x1 (y2-  y3) + x2 (y3-  y1) + x3 (y1-y2)]| yani.

(LHS) = |½[-1 (0-0) + 0 (0-0) + 1 (0-0)]|

= |½[(- 1)x0 + 0x0 + 1×0]|

= |½[0 + 0 + 0]|

= |½ x 0|

= 0 (SAĞ)

Bu nedenle, verilen noktaların oluşturduğu üçgenin alanı sıfır olur, bu da aynı doğru üzerinde oldukları anlamına gelir.

Bu nedenle, verilen noktalar eşdoğrusal noktalardır. (Cevap)

Yukarıda açıklanan prosedürü kullanarak daha fazla uygulama için aşağıda daha fazla yanıtlanan problem verilmiştir. sorun 1: -

Sorunlar 2: (-1,-1), (0,0) ve (1,1) noktalarının doğrusal olup olmadığını kontrol edin.

Ans. Evet

Sorunlar 3: (-3,2), (5,-3) ve (2,2) olmak üzere üç noktadan bir doğru çekmek mümkün müdür?

Ans.Yok hayır

Sorunlar 4: Doğrularla bağlanan (1,2), (3,2) ve (-5,2) noktalarının koordinat düzleminde bir üçgen oluşturup oluşturamayacağını kontrol edin.

Ans. Yok hayır

______________________________

“Bir Üçgenin Merkezi” Formüllerine İlişkin Temel Örnekler 2B Koordinat Geometrisinde

Merkezinde:Üçgenin içine uyan en büyük çemberin merkezidir.Aynı zamanda üçgenin iç açılarının üç ortayının kesişme noktasıdır.

Sorunlar 1: Kenarları olan bir üçgenin köşeleri sırasıyla (-2,0), (0,5) ve (6,0)'dır. Üçgenin merkezini bulun.

Çözüm: Bunu zaten biliyoruz,

If  bir(x1,y1) B(x2,y2) ve C(x3,y3) BC=a, CA=b ve AB=c köşeleri olsun, G'(x,y) üçgenin merkezi olsun,

koordinatları G' vardır

[lateks]\textbf{}x=\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}[/lateks]

ve         

[lateks]\textbf{}y=\frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}[/latex]

(Formül tablosuna bakın)

Sahip olduğumuz formüle göre,

(x1,y1) ≌(-4,0) yani  x1= -4, y1=0;

(x2,y2) ≌(0,3) yani  x2= 0, y2=3;

(x3,y3) ≌(0,0) yani   x3= 0, y3=0

şimdi elimizde,

a= √ [(x2-x1)2+(y2-y1)2 ]

Veya, a= √ [(0+4)2+(3-0)2 ]

Veya, a= √ [(4)2+ (3)2 ]

Veya, a= √ (16+9)

Veya, a= √25

altın, a = 5 ——————(1)

b=√ [(x1-x3)2+(y1-y3)2 ]

Veya, b= √ [(-4-0)2+(0-0)2 ]

Veya, b= √ [(-4)2+ (0)2 ]

Veya, b= √ (16+0)

Veya, b= √16

altın, b= 4 ——————–(2)

c= √ [(x3-x2)2+(y3-y2)2 ]

Veya, c= √ [(0-0)2+(0-3)2 ]

Veya, c= √ [(0)2+(-3)2 ]

Veya, c= √ (0+9)

Veya, c= √9

altın, c= 3 ——————–(3)

ve birx1+ bx2 + cx3 = (5 X (-4)) + (4 X 0) + (3 X 6)

= -20+0+18

altın, ax1+ bx2 + cx3 = -2 ——————-(4)

ay1+ by2+ cy3 = (5 X 0) + (4 X 3) + (3 X 0)

= 0+12+0

altın, ay1+ tarafından2+ cy3 = 12 ——————–(5)

a+b+c = 5+4+3

altın, a+b+c = 12 ——————(6)

Yukarıdaki denklemleri kullanarak (1), (2), (3), (4), (5) ve (6) değerini hesaplayabiliriz x ve y itibaren

[lateks]\textbf{}x=\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}[/lateks]

Veya, x = -2/12

Veya, x = -1/6

ve

[lateks]\textbf{}y=\frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}[/latex]

Veya, y = 12/12

Veya, y = 1

Bu nedenle verilen üçgenin merkezinin gerekli koordinatları (-1/6 , 1). (Cevap.)

Yukarıdaki problem 1'de açıklanan prosedürü kullanarak daha fazla uygulama için aşağıda daha fazla cevaplanmış problem verilmiştir: -

Sorunlar 2: Köşeleri (-3,-1), (-1,3)) ve (1,1) noktalarında olan üçgenin merkezinin koordinatlarını bulun.

Sorunlar 3: Köşeleri (0,2), (0,0) ve (0,-1) olan üçgenin merkezinin x koordinatı nedir?

Sorunlar 4: Üçgenin üç köşesi (1,1), (2,2) ve (3,3)'tür. Bu üçgenin merkezini bulun.


NASRINA PARVİN

Ben Nasrina Parvin, Hindistan İletişim ve Bilgi Teknolojileri Bakanlığı'nda 10 yıllık deneyime sahibim. Matematik Yüksek Lisansı yaptım. Boş zamanlarımda öğretmeyi, matematik problemleri çözmeyi seviyorum. Çocukluğumdan beri matematik beni en çok büyüleyen tek derstir.

Son Yazılar