Matematiksel Beklenti ve Rastgele Değişken Üzerine 11 Gerçek


Matematiksel Beklenti ve rastgele değişken    

     Matematiksel beklenti, olasılık teorisinde çok önemli bir rol oynar, daha önceki bazı makalelerde tartıştığımız matematiksel beklentinin temel tanımı ve temel özellikleri, şimdi çeşitli dağılımları ve dağılım türlerini tartıştıktan sonra, aşağıdaki makalede biraz daha aşina olacağız. matematiksel beklentinin gelişmiş özellikleri.

Rastgele değişkenlerin toplamı beklentisi | Rastgele değişkenlerin fonksiyon beklentisi | Ortak olasılık dağılımı beklentisi

     Ayrık nitelikteki rastgele değişkenin matematiksel beklentisinin şu şekilde olduğunu biliyoruz:

ve sürekli olan için

şimdi rastgele değişken X ve Y için ayrık ise eklem ile olasılık kütle fonksiyonu p(x,y)

rasgele değişken X ve Y'nin işlevinin beklentisi

ve eğer sürekli ise, o zaman birleşik olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x, y) ile rasgele değişken X ve Y'nin fonksiyonunun beklentisi

g, bu iki rasgele değişkenin sürekli biçimde eklenmesi ise

ve X ve Y rasgele değişkenleri için

X>Y

o zaman beklenti de

Örnek E-posta

Bir Covid-19 hastanesi L uzunluğundaki yolda X noktasında düzgün bir şekilde dağılmış durumda, hastalar için oksijen taşıyan bir araç da yolda düzgün dağılmış Y konumunda, Covid-19 hastanesi arasındaki beklenen mesafeyi bulun ve bağımsız ise oksijen taşıyan araç.

Çözüm:

X ve Y arasındaki beklenen uzaklığı bulmak için E { | XY | }

Şimdi X ve Y'nin ortak yoğunluk fonksiyonu olacak

beri

bunu takip ederek elimizde

şimdi integralin değeri olacak

Böylece bu iki nokta arasındaki beklenen mesafe

Örnek ortalamanın beklentisi

  Rastgele değişkenler dizisinin örnek ortalaması olarak X1, X2, ………, Xn dağılım fonksiyonu F ve her birinin beklenen değeri μ olarak

yani bu örnek ortalamanın beklentisi

numune ortalamasının beklenen değerini gösteren de μ'dir.

Boole Eşitsizliği

                Boole'un eşitsizlik özelliklerin yardımıyla elde edilebilir Beklentilerin, X rastgele değişkeninin şu şekilde tanımlandığını varsayalım.

nerede

burada biri 'ler rastgele olaylardır, bu, X rastgele değişkeninin A olaylarının oluşumunu temsil ettiği anlamına gelir.i ve başka bir rastgele değişken Y olarak

Açıkça

X>=Y

E[X] >= E[Y]

Ve öyleyse

şimdi X ve Y rasgele değişkeninin değerini alırsak bu beklentiler

ve

Bu beklentiyi yukarıdaki eşitsizlikte yerine koyarsak Boole eşitsizliğini şu şekilde elde ederiz:

Binom rastgele değişkeninin beklentisi | Binom rastgele değişkenin ortalaması

  Biliyoruz ki binom rastgele değişken başarı olasılığı p ve başarısızlık olasılığı q=1-p olan n bağımsız denemedeki başarı sayısını gösteren rastgele değişkendir, yani eğer

X=X1 + X2+ …….+ Xn

Nerede

işte bunlar Xi 'lar Bernoulli ve beklenti olacak

yani X'in beklentisi

Negatif Binom Rastgele Değişken Beklentisi | Negatif binom rastgele değişkenin ortalaması

  r başarıyı toplamak için gereken deneme sayısını temsil eden bir rasgele değişken X olsun, böyle bir rasgele değişken negatif binom rasgele değişken olarak bilinir ve şu şekilde ifade edilebilir:

burada her Xi toplam i başarıyı elde etmek için (i-1) birinci başarıdan sonra gereken deneme sayısını gösterir.

Bu X'lerin her birii geometrik rasgele değişkeni temsil eder ve geometrik rasgele değişken için beklentinin

so

hangisi beklenti negatif binom rastgele değişkenin.

Hipergeometrik rastgele değişken beklentisi | Hipergeometrik rastgele değişkenin ortalaması

Basit bir gerçek hayat örneği yardımıyla elde edeceğimiz hipergeometrik rastgele değişkenin beklentisi veya ortalaması, m'si matematik olan N kitap içeren bir raftan rastgele n kitap seçilirse, beklenen sayıyı bulmak için matematik kitapları, X'in seçilen matematik kitaplarının sayısını göstermesine izin verirse, X'i şu şekilde yazabiliriz.

nerede

so

=n/N

hangi verir

bu, böyle bir hipergeometrik rastgele değişkenin ortalamasıdır.

Beklenen maç sayısı

   Bu beklentiyle ilgili çok popüler bir problemdir, bir odada şapkalarını odanın ortasına atan N sayıda insan olduğunu ve tüm şapkaların karıştırıldığını ve bundan sonra her kişinin rastgele bir şapka seçtiğini ve ardından beklenen sayıda insan olduğunu varsayalım. kendi şapkasını seçen, X'in kibrit sayısı olmasına izin vererek elde edebiliriz.

Nerede

herkes N şapkadan herhangi birini seçmek için eşit fırsata sahip olduğundan

so

yani ortalama olarak tam olarak bir kişi kendi şapkasını seçiyor.

Olayların birleşme olasılığı

     A olayları için beklentilerin yardımıyla olayların birliğinin olasılığını elde edelim.i

bununla alıyoruz

yani beklenti bu olacak

ve beklenti özelliğini kullanarak genişletme

sahip olduğumuzdan beri

Matematiksel Beklenti
Matematiksel Beklenti: Olayların birleşiminin olasılığı

ve

so

bu, birleşme olasılığını şu şekilde ifade eder:

Olasılık yöntemini kullanarak Beklentiden Sınırlar

    S'nin sonlu bir küme olduğunu ve f'nin S'nin elemanları üzerindeki fonksiyon olduğunu varsayalım.

burada bu m'nin alt sınırını f(s)'nin beklentisiyle elde edebiliriz, burada "s", S'nin herhangi bir rastgele öğesidir ve beklentisini şu şekilde hesaplayabiliriz.

burada maksimum değer için alt sınır olarak beklenti alıyoruz

Maksimum-Minimum kimlik

 Maksimum Minimum özdeşlik, herhangi bir sayı için olan bu sayıların alt kümelerinin minimumlarına kadar sayı kümesinin maksimumudur.i

Bunu göstermek için x'i kısıtlayalımi [0,1] aralığında, (0,1) aralığında tek tip bir rastgele değişken U ve A olaylarını varsayalım.i tekdüze değişken U x'ten küçük olduğundani ki

U, x'in değerinden birden küçük olduğu için yukarıdaki olaylardan en az biri meydana geldiğindeni

ve

açıkçası biliyoruz

ve U tüm değişkenlerden küçükse tüm olaylar gerçekleşecek ve

olasılık verir

birleşme olasılığının sonucuna sahibiz

olasılık için bu dahil etme hariç tutma formülünün ardından

düşünmek

bu verir

beri

hangi vasıta

  • bu yüzden şöyle yazabiliriz

beklenti alarak maksimum ve kısmi minimumların beklenen değerlerini şu şekilde bulabiliriz:

Sonuç:

Çeşitli dağılımlar açısından beklenti ve beklentinin bazı beklentilerle korelasyonu olasılık teorisi kavramlar, beklentinin farklı türden rastgele değişkenlerin beklenen değerlerini elde etmek için bir araç olarak kullanımını gösteren bu makalenin odak noktasıydı, eğer daha fazla okumanız gerekiyorsa aşağıdaki kitapları gözden geçirin.

Matematik ile ilgili daha fazla makale için lütfen sayfamıza bakın. matematik sayfası.

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation

Sheldon Ross tarafından olasılıkta ilk ders

Schaum'un Olasılık ve İstatistik Anahatları

ROHATGI ve SALEH tarafından olasılık ve istatistiklere giriş

doktor MUHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ben DR'yim. Muhammed Mazhar Ul Haque. Doktoramı tamamladım. Matematik alanında ve Matematik alanında yardımcı doçent olarak çalışmaktadır. 12 yıllık öğretmenlik tecrübesine sahip olmak. Saf Matematikte, tam olarak Cebirde engin bilgiye sahip olmak. Problem tasarlama ve çözme konusunda muazzam bir yeteneğe sahip olmak. Adayları performanslarını artırmaları için motive edebilir. Hem yeni başlayanlar hem de uzmanlar için Matematiği Basit, İlginç ve Kendini Açıklayıcı hale getirmek için Lambdageeks'e katkıda bulunmayı seviyorum. LinkedIn üzerinden bağlanalım - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Son Yazılar