Moment Üreten Fonksiyonlar: 13 Önemli Gerçek


Moment üreten fonksiyon    

Moment üreten fonksiyon, ortalama, standart sapma ve varyans vb. içeren rastgele değişkenin anlarını üreten çok önemli bir fonksiyondur, bu nedenle sadece moment üreten fonksiyon yardımıyla, temel momentlerin yanı sıra daha yüksek momentleri de bulabiliriz, Bu yazıda biz Farklı kesikli ve sürekli rasgele değişkenler için moment üreten fonksiyonları görecektir. Moment üreten fonksiyon (MGF), M(t) ile gösterilen matematiksel beklenti yardımıyla şu şekilde tanımlandığından

[lateks][/lateks]

[lateks]M(t)=E\sol[e^{t X}\sağ][/lateks]

ve tanımını kullanarak kesikli ve sürekli rastgele değişken için beklenti bu fonksiyon olacak

[lateks]M(t)=\left\{\begin{array}{ll}
\sum_{x} e^{tx} p(x) & \text { eğer } X \text { kütle fonksiyonu ile ayrık ise } p(x) \\
\int_{-\infty}^{\infty} e^{ix} f(x) dx & \text { eğer } X \text { yoğunluk } f(x) ile süreklidir
\end{dizi}\sağ.
[/lateks]

bu, t'nin değerini sıfır olarak değiştirerek ilgili anları üretir. Bu momenti türeterek toplamamız gereken bu momentler, örneğin ilk an için veya bir kez farklılaştırarak elde edebileceğimiz ortalama için bu moment üreten fonksiyon.

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
M^{\prime}(t) &=\frac{d}{dt} E\sol[e^{t X}\sağ] \\
&=E\sol[\frac{d}{dt}\sol(e^{LX}\sağ)\sağ] \\
&=E\sol[X e^{t X}\sağ]
\end{hizalanmış}[/lateks]

Bu, farklılaşmanın beklenti altında değiştirilebilir olduğuna dair ipucu verir ve bunu şu şekilde yazabiliriz:

[lateks]\frac{d}{dt}\sol[\sum_{x} e^{ix} p(x)\sağ]=\sum_{x} \frac{d}{dt}\left[e^ {\operatöradı{tr}} p(x)\sağ][/lateks]

ve

[lateks]\frac{d}{dt}\left[\int e^{ix} f(x) dx\sağ]=\int \frac{d}{dt}\left[e^{tx} f( x)\sağ] dx[/lateks]

t=0 ise yukarıdaki anlar

[lateks]M^{\prime}(0)=E[X][/lateks]

ve

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
M^{\prime \prime}(t) &=\frac{d}{dt} M^{\prime}(t) \\
&=\frac{d}{dt} E\sol[X e^{t X}\sağ] \\
&=E\sol[\frac{d}{dt}\sol(X e^{t X}\sağ)\sağ] \\
&=E\sol[X^{2} e^{LX}\sağ]\\
M^{\prime \prime}(0)&=E\sol[X^{2}\sağ]
\end{hizalanmış}[/lateks]

genel olarak şunu söyleyebiliriz

[lateks]M^{n}(t)=E\sol[X^{n} e^{t X}\sağ] \quad n \geq 1[/lateks]

bundan dolayı

[lateks]M^{n}(0)=E\sol[X^{n}\sağ] \quad n \geq 1[/lateks]

Binom dağılımının moment üretme fonksiyonu||Binom dağılımının moment üretme fonksiyonu||Binom dağılımının MGF'si||Moment üretme fonksiyonunu kullanarak Binom dağılımının Ortalama ve Varyansı

Binom dağılımı olan X rastgele değişkeni için Moment üreten fonksiyon, n ve p parametreleriyle binom dağılımının olasılık fonksiyonunu aşağıdaki gibi izleyecektir.

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
M(t) &=E\sol[e^{t X}\sağ] \\
&=\sum_{k=0}^{n} e^{tk}\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{dizi}\sağ) p^{k}(1-p)^{nk} \\
&=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{dizi}\sağ)\sol(pe^{t}\sağ)^{k}(1-p)^{nk} \\
&=\left(pe^{t}+1-p\sağ)^{n}
\end{hizalanmış}[/lateks]

bu, binom teoreminin sonucudur, şimdi t=0 değerini farklılaştırıp koyarak

[lateks]M^{\prime}(t)=n\sol(pe^{t}+1-p\sağ)^{n-1} pe^{t}\\
E[X]=M^{\prime}(0)=np[/lateks]

ki bu, binom dağılımının ortalama veya ilk anı, benzer şekilde ikinci an olacaktır

[lateks]M^{\prime}(t)=n(n-1)\left(pe^{t}+1-p\sağ)^{n-2}\left(pe^{t}\sağ )^{2}+n\sol(pe^{t}+1-p\sağ)^{n-1} pe^{t}\\
E\left[X^{2}\sağ]=M^{\prime \prime}(0)=n(n-1) p^{2}+np[/latex]

böylece binom dağılımının varyansı olacak

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
\operatöradı{Var}(X) &=E\sol[X^{2}\sağ]-(E[X])^{2} \\
&=n(n-1) p^{2}+n pn^{2} p^{2} \\
&=np(1-p)
\end{hizalanmış}[/lateks]

Binom dağılımının standart ortalaması ve varyansı olan, benzer şekilde daha yüksek momentleri de bu moment üretme fonksiyonunu kullanarak bulabiliriz.

Moment üreten fonksiyonu Poisson dağıtım||Poisson dağıtım momenti üreten fonksiyon||MGF of Poisson dağılım||Moment üreten fonksiyonu kullanarak Poisson dağılımının Ortalaması ve Varyansı

 Lambda parametresi ile dağıtılan Poisson rastgele değişkeni X'e sahipsek, bu dağılım için moment üreten fonksiyon olacaktır.

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
M(t) &=E\sol[e^{\ell X}\sağ] \\
&=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{in} e^{-\lambda} \lambda^{n}}{n !} \\
&=e^{-\lambda} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\left(\lambda e^{t}\sağ)^{n}}{n !}\\
&=e^{-\lambda} e\\
&=e^ {\sol\{\lambda\sol(e^{t}-1\sağ)\sağ\}}
\end{hizalanmış}[/lateks]

şimdi bunu ayırt etmek

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
M^{\prime}(t) &=\lambda e^{t} e^{\sol\{\lambda\sol(e^{t}-1\sağ)\sağ\} }\\
M^{\prime \prime}(t) &=\left(\lambda e^{t}\sağ)^{2} e^{\left\{\lambda\left(e^{t}-1\ sağ)\sağ\}}+\lambda e^{t} e^{ \left\{\lambda\left(e^{t}-1\sağ)\sağ\}}
\end{hizalanmış}[/lateks]

bu verir

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
E[X] &=M^{\prime}(0)=\lambda \\
E\left[X^{2}\sağ] &=M^{\prime \prime}(0)=\lambda^{2}+\lambda \\
\operatöradı{Var}(X) &=E\sol[X^{2}\sağ]-(E[X])^{2} \\
&=\lambda
\end{hizalanmış}[/lateks]

hangi Poisson dağılımı için ortalama ve varyansı verir ki bu doğrudur

Üstel dağılımın moment üretme fonksiyonu||Üstel dağıtım momenti üreten fonksiyon||MGF of Üstel dağılımı||Ortalama ve Varyans Üstel moment üreten fonksiyonu kullanarak dağıtım

                Tanımı takip ederek üstel rasgele değişken X için Moment üreten fonksiyon:

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
M(t) &=E\sol[e^{t X}\sağ] \\
&=\int_{0}^{\infty} e^{\lfloor x} \lambda e^{-\lambda x} dx \\
&=\lambda \int_{0}^{\infty} e^{-(\lambda-t) x} dx \\
&=\frac{\lambda}{\lambda-t} \quad \text { için } t<\lambda
\end{hizalanmış}[/lateks]

burada t'nin değeri lambda parametresinden daha küçüktür, şimdi bunu farklılaştırmak

[lateks]M^{\prime}(t)=\frac{\lambda}{(\lambda-t)^{2}} \quad M^{\prime \prime}(t)=\frac{2 \ lambda}{(\lambda-t)^{3}}[/lateks]

anları sağlayan

[lateks]E[X]=M^{\prime}(0)=\frac{1}{\lambda} \quad E\left[X^{2}\sağ]=M^{\prime \prime} (0)=\frac{2}{\lambda^{2}}[/lateks]

Açıkça

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
\operatöradı{Var}(X) &=E\sol[X^{2}\sağ]-(E[X])^{2} \\
&=\frac{1}{\lambda^{2}}
\end{hizalanmış}[/lateks]

Üstel dağılımın ortalaması ve varyansı hangileridir.

Normal dağılımın moment üretme fonksiyonu||Normal dağıtım momenti üreten fonksiyon||MGF of Normal dağılımı||Ortalama ve Varyans Normal moment üreten fonksiyonu kullanarak dağıtım

  Sürekli dağılımlar için Moment üreten fonksiyon da ayrık olanla aynıdır, bu nedenle standart olasılık yoğunluk fonksiyonu ile normal dağılım için moment üreten fonksiyon olacaktır.

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
M_{Z}(t) &=E\sol[e^{t Z}\sağ] \\
&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} e^{-x^{2} / 2} dx
\end{hizalanmış}[/lateks]

bu entegrasyonu ayarlayarak çözebiliriz

[lateks]\begin{dizi}{l}
=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ \left\{-\frac{\left(x^{2}-2 tx\ sağ)}{2}\sağ\} }dx \\
=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{ \left\{-\frac{(xt)^{2}}{2}+ \frac{t^{2}}{2}\sağ\}} dx \\
=e^{t^{2} / 2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(xt)^{2} / 2} dx \\
=e^{t^{2} / 2}
\end{dizi}[/lateks]

integrasyon değeri 1 olduğundan, standart normal değişken için moment üreten fonksiyon olacaktır.

[lateks]M_{Z}(t)=e^{t^{2} / 2}[/lateks]

Bundan, herhangi bir genel normal rastgele değişken için, ilişkiyi kullanarak moment üreten fonksiyonu bulabiliriz.

[lateks]X=\mu+\sigma Z[/lateks]

Böylece

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
M_{X}(t) &=E\sol[e^{t X}\sağ] \\
&=E\sol[e^{t(\mu+\sigma Z)}\sağ] \\
&=E\sol[e^{t \mu} e^{b \sigma Z}\sağ] \\
&=e^{t \mu} E\sol[e^{k \sigma Z}\sağ] \\
&=e^{t \mu} M_{Z}(t \sigma) \\
&=e^{t \mu} e^{(t \sigma)^{2} / 2} \\
&=e^{\left\{\frac{\sigma^{2} t^{2}}{2}+\mu t\sağ\}}
\end{hizalanmış}[/lateks]

yani farklılaşma bize verir

[lateks]\begin{dizi}{l}
M_{X}^{\prime}(t)=\left(\mu+t \sigma^{2}\sağ) \exp \left\{\frac{\sigma^{2} t^{2}} {2}+\mu t\sağ\} \\
M_{X}^{\prime \prime}(t)=\left(\mu+t \sigma^{2}\sağ)^{2} \exp \left\{\frac{\sigma^{2} t^{2}}{2}+\mu t\sağ\}+\sigma^{2} \exp \left\{\frac{\sigma^{2} t^{2}}{2}+\ doğru mu\}
\end{dizi}[/lateks]

Böylece

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
E[X] &=M^{\prime}(0)=\mu \\
E\sol[X^{2}\sağ] &=M^{\prime \prime}(0)=\mu^{2}+\sigma^{2}
\end{hizalanmış}[/lateks]

yani varyans olacak

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
\operatöradı{Var}(X) &=E\sol[X^{2}\sağ]-E([X])^{2} \\
&=\sigma^{2}
\end{hizalanmış}[/lateks]

Rastgele değişkenlerin toplamının moment üreten fonksiyonu

The Moment üreten fonksiyon rasgele değişkenlerin toplamı, X ve Y bağımsız rasgele değişkenleri için ilgili bağımsız rasgele değişkenlerin moment üreten fonksiyonunun ürününe eşit olması gibi önemli bir özellik verir, ardından rasgele değişken X+Y toplamı için moment üreten fonksiyon

Moment üreten fonksiyon
TOPLAM MGF

burada her X ve Y'nin moment üreten fonksiyonları aşağıdakilerden bağımsızdır: matematiksel beklentinin özelliği. Ardışık olarak, farklı dağılımların moment üreten fonksiyonlarının toplamını bulacağız.

Binom rastgele değişkenlerin toplamı

Rastgele değişkenler X ve Y, sırasıyla (n,p) ve (m,p) parametreleriyle Binom dağılımı ile dağıtılırsa, toplamlarının moment üreten fonksiyonu X+Y olacaktır.

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
M_{X+Y}(t)=M_{X}(t) M_{Y}(t) &=\left(pe^{t}+1-p\right)^{n}\left(pe^ {t}+1-p\sağ)^{m} \\
&=\left(pe^{t}+1-p\sağ)^{m+n}
\end{hizalanmış}[/lateks]

burada toplam için parametreler (n+m,p).

Poisson rastgele değişkenlerinin toplamı

Poisson dağılımı ile dağıtılan bağımsız rastgele değişkenler X ve Y'nin ilgili ortalamalarla toplamının dağılımını şu şekilde bulabiliriz:

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
M_{X+Y}(t) &=M_{X}(t) M_{Y}(t) \\
&=\exp \left\{\lambda_{1}\left(e^{t}-1\right)\right\} \exp \left\{\lambda_{2}\left(e^{t}- 1\sağ)\sağ\} \\
&=\exp \left\{\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\sağ)\left(e^{t}-1\sağ)\sağ\}
\end{hizalanmış}[/lateks]

Nerede

[lateks]\lambda_{1}+\lambda_{2}[/latex]

Poisson rastgele değişkeni X+Y'nin ortalamasıdır.

Normal rastgele değişkenlerin toplamı

     Bağımsız düşünün normal rastgele değişkenler parametrelerle X ve Y

[lateks]sol(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\sağ) \ ve \ \left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\sağ)[/latex ]

daha sonra parametrelerle X+Y rasgele değişkenlerinin toplamı için

[lateks]\mu_{1}+\mu_{2} \ ve \ \sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}[/lateks]

yani moment üreten fonksiyon olacak

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
M_{X+Y}(t) &=M_{X}(t) M_{Y}(t) \\
&=e^{\left\{\frac{\sigma_{1}^{2} t^{2}}{2}+\mu_{1} t\right\} \exp \left\{\frac{ \sigma_{2}^{2} t^{2}}{2}+\mu_{2} t\sağ\}} \\
&=e^{\left\{\frac{\left(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}\right) t^{2}}{2}+\left(\mu_{1}+\mu_{2}\right) t\right\}}
\end{hizalanmış}[/lateks]

bu, toplamsal ortalama ve varyans ile moment üreten fonksiyondur.

Rastgele değişkenlerin rastgele sayısının toplamı

Rastgele değişkenlerin toplamının moment üreten fonksiyonunu bulmak için rastgele değişkeni varsayalım.

[lateks]Y=\sum_{i=1}^{N} X_{i[/lateks]

nerede rastgele değişkenler X1,X2, … bağımsız ve özdeş olarak dağıtılan herhangi bir türden rastgele değişken dizisidir, o zaman moment üreten fonksiyon olacaktır.

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
E\left[\exp \left\{t \sum_{1}^{N} X_{i}\right\} \mid N=n\sağ] &=E\left[\exp \left\{t \ toplam_{1}^{n} X_{i}\sağ\} \mid N=n\sağ] \\
&=E\sol[\exp \left\{t \sum_{1}^{n} X_{i}\sağ\}\sağ] \\
&=\sol[M_{X}(t)\sağ]^{n}
\end{hizalanmış}[/lateks]

[lateks]\text{nerede }MX(t)=E\sol[e^{t X_{i}}\sağ]\\ \text{Böylece } E\left[e^{t Y} \mid N\ sağ]=\sol(M_{X}(t)\sağ)^{N}\\ M_{Y}(t)=E\sol[\left(M_{X}(t)\sağ)^{N }\sağ][/lateks]

Bu, Y'nin farklılaşma üzerindeki moment üreten fonksiyonunu şu şekilde verir:

[lateks]M_{Y}^{\prime}(t)=E\sol[N\sol(M_{X}(t)\sağ)^{N-1} M_{X}^{\prime}( t)\sağ][/lateks]

bundan dolayı

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
E[Y] &=M_{Y}^{\prime}(0) \\
&=E\sol[N\sol(M_{X}(0)\sağ)^{N-1} M_{X}^{\prime}(0)\sağ] \\
&=E[NEX] \\
&=E[N] E[X]
\end{hizalanmış}[/lateks]

benzer şekilde iki kez farklılaşma verecektir

[lateks]M_{Y}^{\prime \prime}(t)=E\sol[N(N-1)\sol(M_{X}(t)\sağ)^{N-2}\sol( M_{X}^{\prime}(t)\sağ)^{2}+N\sol(M_{X}(t)\sağ)^{N-1} M_{X}^{\prime \prime }(t)\sağ][/lateks]

hangi vermek

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
E\sol[Y^{2}\sağ] &=M_{Y}^{\prime \prime}(0) \\
&=E\sol[N(N-1)(E[X])^{2}+NE\sol[X^{2}\sağ]\sağ] \\
&=(E[X])^{2}\left(E\sol[N^{2}\sağ]-E[N]\sağ)+E[N] E\sol[X^{2}\ Sağ] \\
&=E[N]\left(E\sol[X^{2}\sağ]-(E[X])^{2}\sağ)+(E[X])^{2} E\sol[ N^{2}\sağ] \\
&=E[N] \operatöradı{Var}(X)+(E[X])^{2} E\sol[N^{2}\sağ]
\end{hizalanmış}[/lateks]

böylece varyans olacak

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
\operatorname{Var}(Y) &=E[N] \operatorname{Var}(X)+(E[X])^{2}\left(E\left[N^{2}\right]-( E[N])^{2}\sağ) \\
&=E[N] \operatöradı{Var}(X)+(E[X])^{2} \operatöradı{Var}(N)
\end{hizalanmış}[/lateks]

Ki-kare rastgele değişken örneği

Ki-kare rasgele değişkeninin moment üreten fonksiyonunu n-dereceli serbestlikle hesaplayın.

Çözüm: için n serbestlik dereceli Ki-kare rastgele değişkenini düşünün.

[lateks]Z_{1}^{2}+\cdots+Z_{n}^{2}[/lateks]

standart normal değişkenlerin sırası, ardından moment üreten fonksiyon olacaktır.

[lateks]M(t)=\left(E\sol[e^{t Z^{2}}\sağ]\sağ)^{n}[/lateks]

yani verir

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
E\sol[e^{t Z^{2}}\sağ] &=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx^ {2}} e^{-x^{2} / 2} dx \\
&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^{2} / 2 \sigma^{2}} dx \quad \ metin { nerede } \sigma^{2}=(1-2 t)^{-1} \\
&=\sigma \\
&=(1-2 t)^{-1 / 2}
\end{hizalanmış}[/lateks]

ortalama 0 ve varyans σ ile normal yoğunluk2 1 ile bütünleşir

[lateks]M(t)=(1-2 t)^{-n / 2}[/lateks]

bu, n serbestlik derecesinin gerekli moment üreten fonksiyonudur.

Tekdüzen rastgele değişken örneği

Verilen n ve p parametreleriyle binom olarak dağıtılan X rastgele değişkeninin moment üreten fonksiyonunu bulun. şartlı (0,1) aralığında rastgele değişken Y=p

Çözüm: Y verilen rasgele değişken X'in moment üreten fonksiyonunu bulmak için

[lateks]E\sol[e^{XX} \mid Y=p\sağ]=\left(pe^{t}+1-p\sağ)^{n}[/lateks]

binom dağılımını kullanarak, sin Y, (0,1) aralığındaki Tekdüzen rastgele değişkendir

[lateks]
\begin{dizi}{l}
E\left[e^{t X}\sağ]=\int_{0}^{1}\left(pe^{t}+1-p\sağ)^{n} dp
\\=\frac{1}{e^{t}-1} \int_{1}^{e^{t}} y^{n} dy\\
=\frac{1}{n+1} \frac{e^{t(n+1)}-1}{e^{t}-1} \\
=\frac{1}{n+1}\left(1+e^{t}+e^{2 t}+\cdots+e^{nt}\sağ)
\end{dizi}
\\\text{değiştirerek }\left.y=pe^{t}+1-p\right)
[/lateks]

Ortak moment üreten fonksiyon

n adet rasgele değişken X için ortak moment üreten fonksiyon1,X2,…,Xn

[lateks]M\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)=E\left[e^{t_{1} X_{1}+\cdots+t_{n} X_{n} }\sağ][/lateks]

nerede1,t2,……Tn gerçek sayılardır, ortak moment üreten fonksiyondan bireysel moment üreten fonksiyonu şu şekilde bulabiliriz

[lateks]M_{X_{i}}(t)=E\sol[e^{t X_{i}}\sağ]=M(0, \ldots, 0, t, 0, \ldots, 0)[ /lateks]

Teorem: Rastgele değişkenler X1,X2,…,Xn ancak ve ancak ortak mement oluşturma işlevi varsa bağımsızdır.

[lateks]M\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)=M X_{1}\left(t_{1}\right) \cdots M X_{n}\left(t_{ n}\sağ)[/lateks]

İspat: Verilen rastgele değişkenlerin X olduğunu varsayalım.1,X2,…,Xn o zaman bağımsız

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
M\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right) &=E\left[e^{\left(t_{1} X_{1}+\cdots+t_{n} X_{n) }\doğru doğru] \\
&=E\sol[e^{t_{1} X_{1}} \ldots e^{t_{n} X_{n}}\sağ] \\
&=E\left[e^{t_{1} X_{1}}\right] \cdots E\left[e^{t_{n} X_{n}}\right] \quad \text { bağımsızlığa göre } \\
&=M_{X_{1}}\left(t_{1}\right) \cdots M_{X_{n}}\left(t_{n}\right)
\end{hizalanmış}[/lateks]

Şimdi ortak moment üreten fonksiyonun denklemi sağladığını varsayalım.

[lateks]M\left(t_{1}, \ldots, t_{n}\right)=M X_{1}\left(t_{1}\right) \cdots M X_{n}\left(t_{ n}\sağ)[/lateks]

  • rasgele değişkenleri kanıtlamak için X1,X2,…,Xn bağımsızlarsa, ortak moment üreten fonksiyonun benzersiz olarak ortak dağılımı verdiği sonucuna sahibiz (bu, kanıt gerektiren bir başka önemli sonuçtur), bu nedenle rastgele değişkenlerin bağımsız olduğunu gösteren ortak dağılıma sahip olmalıyız, dolayısıyla gerekli ve yeterli koşul kanıtlanmıştır.

Ortak Moment üreten fonksiyon örneği

1. Rastgele değişken X+Y ve XY'nin ortak moment üreten fonksiyonunu hesaplayın

Çözüm : X+Y rasgele değişkenlerinin toplamı ve XY rasgele değişkenlerinin çıkarılması, bağımsız rasgele değişkenler X ve Y için bağımsız olduğundan, bunlar için ortak moment üreten fonksiyon olacaktır.

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
E\sol[e^{n(X+Y)+s(XY)}\sağ] &=E\sol[e^{(t+s) X+(ts) Y}\sağ] \\
&=E\sol[e^{(t+s) X}\sağ] E\sol[e^{(ts) Y}\sağ] \\
&=e^{\mu(t+s)+\sigma^{2}(t+s)^{2} / 2} e^{\mu(ts)+\sigma^{2}(ts)^ {2} / 2} \\
&=e^{2 \mu t+\sigma^{2} t^{2}} e^{\sigma^{2} s^{2}}
\end{hizalanmış}[/lateks]

bu moment üreten fonksiyon ortak dağılımı belirlediğinden, bundan X+Y ve XY'yi bağımsız rastgele değişkenler olarak alabiliriz.

2. Deney için, p olasılıklı poisson dağılımı ile dağıtılan sayılan ve sayılmayan olayların sayısını ve ortalama λ'yı göz önünde bulundurun, sayılan ve sayılmayan olayların sayısının ilgili ortalamalar λp ve λ(1-p)'den bağımsız olduğunu gösterin.

Çözüm: X'i olay sayısı olarak kabul edeceğiz ve X'ic sayılan olayların sayısı yani sayılmayan olayların sayısı XX olurc, ortak moment oluşturma işlevi moment üretecektir

[lateks]\başlangıç{hizalanmış}
E\left[e^{\kappa X_{\varepsilon}+t\left(X-X_{c}\sağ)} \mid X=n\sağ] &=e^{\ln } E\left[e ^{(st) X_{c}} \mid X=n\sağ] \\
&=e^{in}\left(pe^{st}+1-p\sağ)^{n} \\
&=\left(pe^{s}+(1-p) e^{t}\sağ)^{n}
\end{hizalanmış}[/lateks]

ve binom dağılımının moment üreten fonksiyonu ile

[lateks]E\sol[e^{s X_{\varepsilon}+t\left(X-X_{\varepsilon}\sağ)} \mid X\sağ]=\left(pe^{s}+(1 -p) e^{t}\sağ)^{X}[/lateks]

ve bunlardan beklentiyi almak

[lateks]E\sol[e^{\sum X_{c}+t\left(X-X_{c}\sağ)}\sağ]=E\sol[\left(pe^{s}+(1 -p) e^{t}\sağ)^{X}\sağ]\\
\begin{hizalanmış}
E\sol[e^{s X_{c}+t\sol(X-X_{c}\sağ)}\sağ] &=e^{\lambda\left(pe^{\prime}+(1- p) e^{t}-1\sağ)} \\
&=e^{\lambda p\sol(e^{c-1}\sağ)} e^{\lambda(1-p)\sol(e^{t}-1\sağ)}
\end{hizalanmış}[/lateks]

Sonuç:

Moment üreten fonksiyonun standart tanımı kullanılarak, binom, poisson, normal vb. gibi farklı dağılımlar için momentler tartışılmış ve bu rastgele değişkenlerin toplamı, bunlar için ayrık veya sürekli moment üreten fonksiyon ve birleşik moment üreten fonksiyon ile elde edilmiştir. uygun örnekler, daha fazla okumaya ihtiyacınız varsa aşağıdaki kitapları inceleyin.

Matematik ile ilgili daha fazla makale için lütfen sayfamıza bakın. matematik sayfası.

Sheldon Ross tarafından olasılıkta ilk ders

Schaum'un Olasılık ve İstatistik Anahatları

ROHATGI ve SALEH tarafından olasılık ve istatistiklere giriş

doktor MUHAMMED MAZHAR UL HAQUE

Ben DR'yim. Muhammed Mazhar Ul Haque, Matematik Bölümünde Yardımcı Doçent. 12 yıllık öğretmenlik tecrübesine sahip olmak. Saf Matematikte, tam olarak Cebirde engin bilgiye sahip olmak. Problem tasarlama ve çözme konusunda muazzam bir yeteneğe sahip olmak. Adayları performanslarını artırmaları için motive edebilir. Hem yeni başlayanlar hem de uzmanlar için Matematiği Basit, İlginç ve Kendi Kendini Açıklayıcı hale getirmek için Lambdageeks'e katkıda bulunmayı seviyorum. LinkedIn üzerinden bağlanalım - https://www.linkedin.com/in/dr-mohammed-mazhar-ul-haque-58747899/

Son Yazılar