Normal Random Variable : 3 Important Facts -

Normal Rastgele değişken ve Normal dağılım

Sayılamayan değerlere sahip rasgele değişken, sürekli rasgele değişken olarak bilinir ve eğrinin altındaki alan olarak entegrasyon yardımıyla olasılık yoğunluk fonksiyonu sürekli dağılımı verir, Şimdi en çok kullanılan ve sık görülen sürekli rasgele değişkenlerden birine odaklanacağız. yani Gauss rastgele değişkeni veya Gauss dağılımı olarak başka bir adı olan normal rastgele değişken.

Normal rastgele değişken

Normal rastgele değişken, olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli rastgele değişkendir.

anlamı olan μ ve varyans σ² istatistiksel parametreler ve geometrik olarak olasılık yoğunluk fonksiyonu, ortalama μ etrafında simetrik olan çan şeklindeki eğriye sahiptir..

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun toplam olasılığa sahip olduğunu biliyoruz.

y= (x-μ)/σ koyarak

bu ikili entegrasyon, kutupsal forma dönüştürülerek çözülebilir.

bu gerekli değerdir, bu nedenle integral I için doğrulanır.

X parametresi μ ile normal olarak dağıtılırsa ve σ² o zaman Y=aX+b ayrıca aμ+b ve a parametreleriyle normal olarak dağılır.²μ²

Normal Rastgele değişkenin Beklenti ve Varyansı

Normal rastgele değişkenin Beklenen değeri ve yardımıyla elde edeceğimiz varyans

burada X, ortalama parametrelerle normal olarak dağıtılır μ ve standart sapma σ.

Z'nin ortalaması sıfır olduğundan varyansı şu şekilde elde ederiz:

parçalara göre entegrasyonu kullanarak

Z değişkeni için grafiksel yorum aşağıdaki gibidir

ve olarak bilinen bu değişken Z için eğrinin altında kalan alan standart normal değişken, o referans için hesaplanır (tabloda verilmiştir), eğri simetrik olduğundan negatif değer için alan pozitif değerlerle aynı olacaktır

z	0.00	0.01	0.02	0.03	0.04	0.05	0.06	0.07	0.08	0.09
0.0	0.50000	0.50399	0.50798	0.51197	0.51595	0.51994	0.52392	0.52790	0.53188	0.53586
0.1	0.53983	0.54380	0.54776	0.55172	0.55567	0.55962	0.56356	0.56749	0.57142	0.57535
0.2	0.57926	0.58317	0.58706	0.59095	0.59483	0.59871	0.60257	0.60642	0.61026	0.61409
0.3	0.61791	0.62172	0.62552	0.62930	0.63307	0.63683	0.64058	0.64431	0.64803	0.65173
0.4	0.65542	0.65910	0.66276	0.66640	0.67003	0.67364	0.67724	0.68082	0.68439	0.68793
0.5	0.69146	0.69497	0.69847	0.70194	0.70540	0.70884	0.71226	0.71566	0.71904	0.72240
0.6	0.72575	0.72907	0.73237	0.73565	0.73891	0.74215	0.74537	0.74857	0.75175	0.75490
0.7	0.75804	0.76115	0.76424	0.76730	0.77035	0.77337	0.77637	0.77935	0.78230	0.78524
0.8	0.78814	0.79103	0.79389	0.79673	0.79955	0.80234	0.80511	0.80785	0.81057	0.81327
0.9	0.81594	0.81859	0.82121	0.82381	0.82639	0.82894	0.83147	0.83398	0.83646	0.83891
1.0	0.84134	0.84375	0.84614	0.84849	0.85083	0.85314	0.85543	0.85769	0.85993	0.86214
1.1	0.86433	0.86650	0.86864	0.87076	0.87286	0.87493	0.87698	0.87900	0.88100	0.88298
1.2	0.88493	0.88686	0.88877	0.89065	0.89251	0.89435	0.89617	0.89796	0.89973	0.90147
1.3	0.90320	0.90490	0.90658	0.90824	0.90988	0.91149	0.91308	0.91466	0.91621	0.91774
1.4	0.91924	0.92073	0.92220	0.92364	0.92507	0.92647	0.92785	0.92922	0.93056	0.93189
1.5	0.93319	0.93448	0.93574	0.93699	0.93822	0.93943	0.94062	0.94179	0.94295	0.94408
1.6	0.94520	0.94630	0.94738	0.94845	0.94950	0.95053	0.95154	0.95254	0.95352	0.95449
1.7	0.95543	0.95637	0.95728	0.95818	0.95907	0.95994	0.96080	0.96164	0.96246	0.96327
1.8	0.96407	0.96485	0.96562	0.96638	0.96712	0.96784	0.96856	0.96926	0.96995	0.97062
1.9	0.97128	0.97193	0.97257	0.97320	0.97381	0.97441	0.97500	0.97558	0.97615	0.97670
2.0	0.97725	0.97778	0.97831	0.97882	0.97932	0.97982	0.98030	0.98077	0.98124	0.98169
2.1	0.98214	0.98257	0.98300	0.98341	0.98382	0.98422	0.98461	0.98500	0.98537	0.98574
2.2	0.98610	0.98645	0.98679	0.98713	0.98745	0.98778	0.98809	0.98840	0.98870	0.98899
2.3	0.98928	0.98956	0.98983	0.99010	0.99036	0.99061	0.99086	0.99111	0.99134	0.99158
2.4	0.99180	0.99202	0.99224	0.99245	0.99266	0.99286	0.99305	0.99324	0.99343	0.99361
2.5	0.99379	0.99396	0.99413	0.99430	0.99446	0.99461	0.99477	0.99492	0.99506	0.99520
2.6	0.99534	0.99547	0.99560	0.99573	0.99585	0.99598	0.99609	0.99621	0.99632	0.99643
2.7	0.99653	0.99664	0.99674	0.99683	0.99693	0.99702	0.99711	0.99720	0.99728	0.99736
2.8	0.99744	0.99752	0.99760	0.99767	0.99774	0.99781	0.99788	0.99795	0.99801	0.99807
2.9	0.99813	0.99819	0.99825	0.99831	0.99836	0.99841	0.99846	0.99851	0.99856	0.99861
3.0	0.99865	0.99869	0.99874	0.99878	0.99882	0.99886	0.99889	0.99893	0.99896	0.99900
3.1	0.99903	0.99906	0.99910	0.99913	0.99916	0.99918	0.99921	0.99924	0.99926	0.99929
3.2	0.99931	0.99934	0.99936	0.99938	0.99940	0.99942	0.99944	0.99946	0.99948	0.99950
3.3	0.99952	0.99953	0.99955	0.99957	0.99958	0.99960	0.99961	0.99962	0.99964	0.99965
3.4	0.99966	0.99968	0.99969	0.99970	0.99971	0.99972	0.99973	0.99974	0.99975	0.99976
3.5	0.99977	0.99978	0.99978	0.99979	0.99980	0.99981	0.99981	0.99982	0.99983	0.99983

ikameyi kullandığımızdan beri

Burada, Z'nin standart normal değişken olduğunu unutmayın; sürekli rastgele değişken X normal olarak dağıtılır ortalama μ ve standart sapma σ ile normal rastgele değişken.

Rastgele değişkenin dağılım fonksiyonunu bulmak için standart normal değişkene dönüşümü şu şekilde kullanacağız:

a'nın herhangi bir değeri için

Örnek: Standart normal eğride 0 ve 1.2 noktaları arasındaki alanı bulun.

Tabloyu takip edersek, 1.2 sütununun altındaki 0 değeri 0.88493 ve 0 değeri 0.5000'dir,

Örnek E-posta: -0.46 ile 2.21 arasında standart normal eğrinin alanını bulun.

Taralı bölgeden bu bölgeyi -0.46'dan 0'a ve 0'dan 2.21'e çatallayabiliriz çünkü normal eğri y eksenine göre simetriktir, dolayısıyla -0.46'dan 0'a kadar olan alan, 0'dan 0.46'ya kadar olan alanla aynıdır, dolayısıyla tablodan

yani şöyle yazabiliriz

Toplam Alan =(z = -0.46 ve z=0 arasındaki alan) + (z=0 ve z=2.21 arasındaki alan)

= 0.1722 + 0.4864

= 0.6586

Örnek: X, ortalaması 3 ve varyansı 9 olan normal rastgele değişken ise, aşağıdaki olasılıkları bulun

P{X>0}

P|X-3|>6

Çözüm: sahip olduğumuzdan beri

bu yüzden -1/3 ila 0 ve 0 ila 2/3 aralıklarına bölünerek çözümü tablo değerlerinden alacağız

=0.74537 -1 + 0.62930 =0.37467

Örnek: Babalık davasında bir gözlemci, insan büyümesinin uzunluğunun (gün olarak)

parametre ortalaması 270 ve varyans 100 ile normal dağılım göstermektedir. Bu durumda çocuğun babası olan şüpheli, çocuğun doğumundan 290 gün önce başlayan ve 240 gün önce sona eren bir süre içinde ülke dışında olduğunu kanıtlamıştır. doğum. Annenin tanığın belirttiği çok uzun veya çok kısa bir hamilelik geçirme olasılığını bulunuz?

X, gebelik için normal olarak dağılan rasgele değişkeni göstersin ve şüphelinin çocuğun babası olduğunu düşünelim. Bu durumda çocuğun doğumunun belirtilen süre içinde gerçekleşmiş olma olasılığı vardır.

Normal rastgele değişken ve Binom rastgele değişken arasındaki ilişki

Binom dağılımı durumunda, ortalama np'dir ve varyans npq'dir, bu nedenle, böyle bir ortalamaya sahip bu tür binom rasgele değişkeni dönüştürürsek ve n'nin çok büyük ve p veya q'nun çok küçük olduğu standart sapma, sıfıra yaklaşırken, standart normal değişken Z ile bu ortalama ve varyansın yardımı

burada açısından Bernouli denemeleri X, n denemedeki başarı sayısını dikkate alır. n arttıkça ve sonsuza yaklaştıkça, bu normal değişken aynı şekilde standart normal değişken haline gelir.

Binom ve standart normal değişken arasındaki ilişkiyi aşağıdaki teoremi kullanarak bulabiliriz.

DeMoivre Laplace limit teoremi

If S_n n olduğunda meydana gelen başarıların sayısını belirtir her biri p olasılıklı bir başarı ile sonuçlanan bağımsız denemeler , gerçekleştirilir, daha sonra, herhangi biri için bir <b ,

Örnek: İki terimli rasgele değişkene normal yaklaşımın yardımıyla, adil bir madeni para 20 kez atıldığında 40 kez kuyruğun oluşma olasılığını bulun.

Çözüm: Rastgele değişken X'in kuyruğun oluşumunu temsil ettiğini varsayalım, çünkü iki terimli rasgele değişken ayrık rasgele değişkendir ve normal rasgele değişken sürekli rasgele değişkendir, dolayısıyla ayrık olanı sürekliye dönüştürmek için şöyle yazarız:

ve verilen örneği binom dağılımı yardımıyla çözersek, bunu şu şekilde elde ederiz:

Örnek: Kesin bir beslenmenin kan dolaşımındaki kolesterol miktarını azaltmadaki etkinliğine karar vermek için beslenmeye 100 kişi yerleştirilir. Beslenme sağlandıktan sonra belirlenen süre boyunca kolesterol sayımı gözlemlendi. Bu numunenin yüzde 65'i düşük kolesterol değerine sahipse, beslenme onaylanacaktır. Kolesterol düzeyi üzerinde gerçekten bir etkisi yoksa, beslenme uzmanının yeni beslenmeyi onaylama olasılığı nedir?

çözüm: Rastgele değişken, beslenmeyle düşükse kolesterol seviyesini ifade etsin, böylece böyle bir rastgele değişkenin olasılığı her kişi için ½ olacaktır, eğer X düşük insan sayısını gösteriyorsa, beslenmenin etkisi olmasa bile sonucun onaylanma olasılığı. kolesterol seviyesini düşürmektir

Sonuç:

Bu makalede sürekli rasgele değişken kavramı yani normal rastgele değişken ve olasılık yoğunluk fonksiyonu ile dağılımı tartışılmış ve normal rastgele değişken için istatistiksel parametre ortalaması, varyansı verilmiştir. Normal olarak dağılmış rasgele değişkenin yeni standart normal değişkene dönüştürülmesi ve bu tür standart normal değişken için eğrinin altındaki alan, aşağıdakilerden biri olan tablo halinde verilmiştir. kesikli rasgele değişken ile ilişki de örnekle belirtilmiştir , daha fazla okumak istiyorsanız, şuraya gidin:

Schaum'un Olasılık ve İstatistik Anahatları

https://en.wikipedia.org/wiki/Probability.

Matematikle ilgili daha fazla konu için lütfen kontrol edin bu sayfa.